3.2 平面向量基本定理内容要求 1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)．知识点 1 平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．【预习评价】(1)0 能不能作为基底？提示 由于 0 与任何向量都是共线的，因此 0 不能作为基底．(2)平面向量的基底唯一吗？提示 不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．题型一 对向量基底的理解【例 1】 如果 e1，e2是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量；② 对于平面 α 内任一向量 a，使 a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③ 若向量 λ1e1＋μ1e2与 λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④ 若存在实数 λ，μ 使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0.解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即 λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0 时，这样的 λ 有无数个．答案 ②③规律方法 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．【训练 1】 设 e1，e2是平面内一组基向量，且 a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量 e1＋e2可以表示为另一组基向量 a，b 的线性组合，即 e1＋e2＝________a＋________b.解析 由题意，设 e1＋e2＝ma＋nb.因为 a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以 e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得所以答案 －【例 2】 设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC＝3CD，则( )A.AD＝－AB＋AC B.AD＝AB－ACC.AD＝AB＋AC D.AD＝AB－AC解析 由题得AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋AC－AB＝－AB＋AC.故选 A.答案 A【迁移 1】 在例题中将“BC＝3CD”改为“BC＝CD”试用AB、AC表示AD.解 AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋AC－AB＝2AC－AB.【迁移 2】 在例题中将“BC＝3CD”改为“BC＝－3CD”试...
