高中数学 第二章 平面向量 5 从力做的功到向量的数量积(一)学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案VIP专享

5 从力做的功到向量的数量积(一)学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一 两向量的夹角思考 1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？思考 2 △ABC 为正三角形，设AB＝a，BC＝b，则向量 a 与 b 的夹角是多少？梳理 (1)夹角：已知两个____________a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则__________＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量 a 与 b的夹角(如图所示)．当 θ＝0°时，a 与 b________；当 θ＝180°时，a 与 b________.(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.规定零向量可与任一向量垂直．知识点二 平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图．思考 1 如何计算这个力所做的功？思考 2 力做功的大小与哪些量有关？梳理 (1)数量积：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，我们把______________叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝____________.(2)数量积的特殊情况当两个向量相等时，a·a＝__________.当两个向量 e1，e2是单位向量时，e1·e2＝________________________.知识点三 平面向量数量积的几何意义思考 1 什么叫作向量 b 在向量 a 上的射影？什么叫作向量 a 在向量 b 上的射影？思考 2 向量 b 在向量 a 上的射影与向量 a 在向量 b 上的射影相同吗？梳理 (1)射影：若非零向量 a，b 的夹角为 θ，则________叫作向量 b 在 a 方向上的射影(简称为投影)．(2)a·b 的几何意义：a 与 b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影________的乘积，或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影____________的乘积．知识点四 平面向量数量积的性质思考 1 向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别？思考 2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？梳理 向量的数量积的性质(1)若 e 是单位向量，则 e·a＝____________＝____________.(2)a⊥b⇔____________.(3)________＝.(4)cos θ＝(|a||b|≠0)．(5)对任意两个向量 a，b，有|a·b|____|a||b|，当且仅当 a∥b ...