5 从力做的功到向量的数量积[核心必知]1．平面向量数量积的概念(1)向量的夹角定义已知两个非零向量 a 和 b，如图所示，作＝a，＝b，则∠ AOB ＝ θ 叫作向量 a 与 b 的夹角范围0°≤θ≤180°，当 θ＝0°时，a 与 b 同向；当 θ＝180°时，a 与 b 反向；当 θ＝90°时，称 a 与 b 垂直，记作 a⊥b (2)规定：零向量与任一向量垂直．(3)向量 b 在 a 方向上的射影① 定义：如图，＝a，＝b，过点 B 作 BB1⊥OA 于点 B1则 OB1＝|b|cos θ.| b | cos _θ 叫作向量 b 在 a 方向上的射影．② 数值特征：θ 的范围θ＝0°0°<θ°<90°θ＝90°90°<θ<180°θ＝180°续表图形正负正数|b|正数0负数负数－|b|(4)向量的数量积定义已知两个向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，把|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ几何意义a 与 b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上射影|b|cos θ 的乘积，或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上射影|a|cos θ 的乘积物理意义力对物体做功，就是力 F 与其作用下物体的位移 s 的数量积 F · s 2.数量积的性质(1)若 e 是单位向量，则 e·a＝a·e＝| a | cos _θ．(2)若 a⊥b，则 a·b＝0；反之，若 a·b＝0，则 a⊥b.通常记作 a ⊥ b ⇔ a · b ＝ 0 ．(3)|a|＝．(4)cos θ＝(|a||b|≠0)(5)对任意两个向量 a，b，有|a·b|≤|a||b|.当且仅当 a ∥ b 时等号成立．3．数量积的运算律若给定向量 a，b，c 和实数 λ，则数量积满足：(1)交换律：a·b＝b · a ；(2)数乘向量结合律：(λa)·b＝λ ( a · b ) ＝a ·( λ b ) ；(3)分配律：a·(b＋c)＝a · b ＋ a · c ．[问题思考]1．向量 b 在 a 方向上的射影仍是一个向量，对吗？提示：不对．向量 b 在 a 方向上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于两向量夹角 θ的取值范围．2．两向量 a 与 b 的数量积是一个向量，对吗？提示：不对．向量的数量积是一个实数，其值可正，可负，可以为 0.讲一讲1．已知向量 a 与 b 的夹角 θ＝120°，且|a|＝4，|b|＝2，求(1)a·(－b)；(2)(a－2b)·(a＋b)[尝试解答] (1) 向量 a 与 b 的夹角 θ＝120°，∴向量 a 与－b 的夹角为 180°－θ＝60°.∴a·(－b)＝|a|·|b|·cos 60°＝4·2·＝4.(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a...
