高中数学 第二章 平面向量 5 从力做的功到向量的数量积学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案VIP专享

§5 从力做的功到向量的数量积内容要求 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量数量积与向量射影的关系.3.会进行平面向量数量积的运算(重点).4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(难点)．知识点 1 向量的夹角与投影(1)夹角：① 定义：已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB ＝ θ 叫作向量 a 与 b 的夹角；② 范围：0°≤θ≤180°；③ 大小与向量共线、垂直的关系；θ＝(2)投影：① 定义：如图所示：OA＝a，OB＝b，过点 B 作 BB1垂直于直线 OA，垂足为 B1，则 OB1＝|b|cos θ.|b|cos θ 叫作向量 b 在 a 方向上的投影数量(简称投影)．② 大小与夹角的关系：夹角0°锐角90°钝角180°射影|b|正值0负值－|b|【预习评价】等边△ABC 中，BA与BC的夹角是多少？BA与AC，AC与BC的夹角又分别是多少？提示 BA与BC的夹角就是△ABC 的一个内角(∠ABC)，因此BA与BC的夹角是.BA与AC首尾相接，由∠BAC＝知它的补角为 π，因此BA与AC的夹角是 π.AC与BC有共同的终点 C，若延长 AC，BC，则可知所得的角的大小与∠ACB 的大小相等，均是，因此AC与BC的夹角是.知识点 2 向量的数量积(1)定义：已知两个向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，我们把|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ.(2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上投影|b|cos θ 的乘积，或 b的长度|b|与 a 在 b 方向上投影|a|cos θ 的乘积．(3)物理意义：力对物体做功，就是力 F 与其作用下物体的位移 s 的数量积 F·s.(4)性质：① 若 e 是单位向量，则 e·a＝a·e＝|a|cos θ；②a⊥b⇔a·b＝0(其中 a，b 为非零向量)；③|a|＝；④cos θ＝(|a||b|≠0)；⑤ 对任意两个向量 a，b，有|a·b|≤|a||b|.(5)运算律：交换律：a·b＝b·a.结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.【预习评价】1．已知三角形 ABC 中，BA·BC＜0，则三角形 ABC 的形状为( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形解析 BA·BC＝|BA|·|BC|·cos B＜0，∴cos B＜0，又 B 为△ABC 的内角．∴＜B＜π.答案 A2．已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．解析 |a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2...