高中数学 第二章 平面向量 7 向量应用举例教学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学教学案VIP专享

7 向量应用举例[核心必知]1．点到直线的距离公式若 M(x0，y0)是一平面上一定点，它到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝．2．直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．(2)公式：设直线 l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量 v＝(B，－A)，则直线 l 的法向量 n＝( A ， B ) ．3．向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．[问题思考]1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有 d＝|·n0|?提示：如图所示，过 M 作 MN⊥l 于 N，则 d＝||.在 Rt△MPN 中，||是在方向上的射影的绝对值，则||＝|||cos∠PMN|＝|||×1×cos∠PMN|＝||×|n0|×|cos∠PMN|＝|·n0|∴d＝|·n0|.2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？提示：关键是如何将几何问题转化为向量问题，对具体问题是选用向量几何法还是坐标法解决．3．利用向量可以解决哪些物理问题？提示：利用向量可以解决物理中有关力、速度、位移等矢量的合成问题以及力对物体做功的问题等．讲一讲1．已知 Rt△ABC，∠C＝90°，设 AC＝m，BC＝n，若 D 为斜边 AB 的中点，(1)求证：CD＝AB；(2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F，求 AF 的长度(用 m，n 表示)．[尝试解答] 以 C 为坐标原点，以边 CB、CA 所在的直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)，＝(n，－m)．(1)证明： D 为 AB 的中点，∴D(，)，∴|＝ ，||＝，∴||＝||，即 CD＝AB.(2) E 为 CD 的中点，所以 E(，)，设 F(x,0)，则＝(，－m)，＝(x，－m)， A、E、F 共线，∴＝λ，解得(x，－m)＝λ(，－m)，∴即 x＝，即 F(，0)．＝(，－m)．∴||＝ .即 AF＝.利用向量解决几何中常见问题的基本策略：(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的模；(2)证明线段、直线平行，转化为证明向量平行；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直；(4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题．练一练1．已知▱ABCD 中，AD＝1，AB＝2，对角线 BD＝2，试求对角线 AC 的长．讲一讲2．已知过点 A(0,2)，且方向向量为 a＝(1，k)的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(...