高中数学 第二章 平面向量 7 向量应用举例学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案VIP专享

§7 向量应用举例内容要求 1.能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题(重点).2.能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题(难点)．知识点 1 点到直线的距离公式及直线的法向量1．点 M(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝.2．(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．(2)若直线 l 的方向向量 v＝(B，－A)，则直线 l 的法向量 n＝( A ， B ) ． (3)设直线 l 的法向量 n＝(A，B)，则与 n 同向的单位向量 n0＝＝.【预习评价】1．点 P0(－1,2)到直线 l：2x＋y－10＝0 的距离为________．答案 22．直线 2x－y＋1＝0 的一个法向量是( )A．(2,1) B．(－1，－2)C．(1,2) D．(2，－1)答案 D知识点 2 向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．【预习评价】1．若向量OF1＝(1,1)，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力 F1，F2，则|F1＋F2|为( )A．(5,0) B．(－5,0)C. D．－答案 C2．已知 F＝(2,3)作用一物体，使物体从 A(2,0)移动到 B(4，0)，则力 F 对物体作的功为________．答案 4方向 1 基底法解平面向量问题【例 1－1】 如右图，若 D 是△ABC 内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.证明 设AB＝a，AC＝b，AD＝e，DB＝c，DC＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d.∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知 a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，∴e·(c－d)＝0. BC＝DC－DB＝d－c，∴AD·BC＝e·(d－c)＝0，∴AD⊥BC.即 AD⊥BC.方向 2 坐标法解决平面几何问题【例 1－2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为 x 轴、y 轴建立直角坐标系．设 A(2a,0)，B(0,2a)，则 D(a,0)，C(0，a)，从而可求：AC＝(－2a，a)，BD＝(a，－2a)，不妨设AC、BD的夹角为 θ，则 cos θ＝＝＝＝－.故所求钝角的余弦值为－.方向 3 向量在平面几何中的综合应用【例 1－3】 如图所示，△ABC 三边长分别为 a，b，c，PQ 为以 A 为圆心，r 为半径的圆的直径，试判断 P、Q 在什么位置时BP·CQ取得最大值．解 根据题意可以求得：BP＝AP－AB，CQ＝CA＋AQ＝－AC－AP，∴BP·CQ＝(AP－AB)(－AC－AP)＝－AP·AC＋AB·AC－AP2＋AB·AP＝AB·AC－r2＋AP·(AB－AC)＝AB·AC－r2＋AP·CB＝|AB|·...