第二章 数列本章小结一、等差数列与等比数列的概念与性质等差数列、等比数列是高中阶段学习的两类特殊数列，有关等差数列、等比数列的一些性质的应用在高考中经常以选择题、填空题出现，考查知识应用的灵活性．[例 1] (1)等比数列{an}的各项为正，公比 q 满足 q2＝4，则＝________；(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，若 a5a6＝9，则 log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10等于________．[解析] 在(1)中可先把变形、化简，再把公比代入．在(2)中可先把 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10变形，再把题中条件进行代换．(1) (a3＋a4)q＝a3q＋a4q＝a4＋a5，∴＝.而 q2＝4，可知 q＝2，∴＝＝.(2) log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝log3a1a2a3…a8a9a10，而 a1a2a3…a8a9a10＝(a5a6)5，∴log3a1a2a3…a8a9a10＝log3(a5a6)5＝5log3a5a6＝5log39＝5×2＝10.[答案] (1) (2)10规律总结 巧用等比数列的一些性质解题，可使得问题计算简化．[例 2] 已知 a1＝2，点(an，an＋1)在函数 f(x)＝x2＋2x 的图象上，其中 n＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；(2)设 Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求 Tn及数列{an}的通项．[分析] 把点(an，an＋1)代入 f(x)，可得{an}的递推式，再变形使之形成新的等比数列来求解．[解] (1)证明：由已知 an＋1＝a＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2. a1＝2，∴an＋1>1，两边取对数得lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)，即＝2.∴{lg(1＋an)}是公比为 2 的等比数列．(2)由(1)知 lg(1＋an)＝2n－1·lg(1＋a1)＝2n－1·lg3＝lg32n－1，∴1＋an＝32n－1.∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝320·321·322·…·32n－1＝31＋2＋22＋…＋2n－1＝32n－1.∴an＝32n－1－1.规律总结 函数与数列结合的题目是高考的热点之一，做这类题目的关键是利用函数关系得出数列的递推关系，再转化为特殊数列——等差数列、等比数列进行求解．二、数列通项公式的常见求法1．观察归纳法．观察归纳法就是观察数列的特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系 ，纵向看各项与项数 n 的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．[例 3] 图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第十一届济南全运会吉祥物“泰山童子”，按同样的方式构造图形，设第 n 个图形包含 f(n)个“泰山童子”，则 f(5)＝________.f(n)－f(n－1)＝________.[分析] 本题考查逻辑归纳能力、分析问题和解决问题的能力，解法应由...
