第二章 数列本章整合知识网络专题探究专题一 求数列的通项公式数列的通项是数列的重要内容之一，只要有数列的通项公式，许多问题就可迎刃而解．如果一个数列是等差数列或等比数列，则可直接写出其通项公式，而对于非等差、等比数列的通项公式可通过适当的变形、构造等使之成为等差或等比数列来求解．因此数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的关键，现根据数列的结构特征把常见求解方法和技巧总结如下．(一)观察法【应用 1】 已知数列，，－，，－，，…，则此数列的一个通项公式是________．提示：已知数列的前若干项，求该数列的通项公式时，一般先对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项公式．解析：观察数列每项的绝对值，分母为 2，4，8，16，32，…，是 2n的形式，而分子，从第二项起满足“分子－分母＝－3”，因此改写第一项为－，这样，数列中每一项的绝对值都满足“分子－分母＝－3”这一规律，且数列中每一项的符号为“－”“＋”交替出现，故 an＝(－1)n．答案：an＝(－1)n(二)定义法【应用 2】 等差数列{an}是递增数列，前 n 项和为 Sn，且 a1，a3，a9成等比数列，S5＝a．求数列{an}的通项公式．提示：本题已知{an}是等差数列，可建立首项和公差的方程，通过解方程来求得首项和公差，再代入通项公式得其解．1解：设数列{an}的公差为 d(d>0)． a1，a3，a9成等比数列，∴23a ＝a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得 d2＝a1d． d＞0，∴a1＝d．① S5＝25a ，∴5a1＋d＝(a1＋4d)2．②由①②，得 a1＝，d＝．∴an＝＋(n－1)×＝n．(三)Sn法【应用 3】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且 a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1．求数列{an}和{bn}的通项公式．提示：本题已知 Sn的表达式，自然想到使用公式 an＝求解．解：当 n＝1 时，a1＝S1＝2；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，当 n＝1 时也适用，故{an}的通项公式为 an＝4n－2．设{bn}的公比为 q，则 b2(a2－a1)＝b1qd＝b1，又 d＝4，∴q＝．又 a1＝b1＝2，故 bn＝b1qn－1＝2×，即{bn}的通项公式为 bn＝．(四)累加法【应用 4】 已知在数列{an}中，a1＝1，且 an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．提示：由于本题给出了数列{an}中连续两项的差，故可考虑用累加法求解．解：由 an＋1－an＝3n－n，得 an－an－1＝3n－1－(n－1)，an－1－an－2＝3n－2－(n－2)，…a3－a2＝32－2，a2...
