第二章 平面向量[自我校对]① 加法② 减法③ 实数与向量的积④ 向量的数量积⑤ 垂直⑥ 平行⑦ 长度⑧ 夹角⑨ 平行⑩ 垂直⑪ 合成与分解 平面向量的线性运算1.向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫作向量的线性运算.2.向量线性运算的结果仍是一个向量.因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面.3.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题.4.题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等. 如图 21，在△ABC 中，点 M 是 AB 边的中点，E 是中线 CM 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F.MH∥AF 交 BC 于 H.求证：HF＝BH＝FC.图 21【精彩点拨】 选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出HF，BH与FC即可证得.【规范解答】 设BM＝a，MH＝b，则BH＝a＋b，HF＝HB＋BA＋AF＝－BH＋2BM＋2MH＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b，FC＝FE＋EC＝HM＋ME＝－MH＋MA＋AE＝－b＋BM＋AF－EF＝－b＋a＋2MH－MH＝－b＋a＋2b－b＝a＋b.综上，得HF＝BH＝FC.[再练一题]1.如图 22，平行四边形 ABCD 中，点 M 在 AB 的延长线上，且 BM＝AB，点 N 在 BC 上，且BN＝BC，求证：M，N，D 三点共线. 【导学号：00680063】图 22【证明】 设AB＝e1，AD＝e2，则BC＝AD＝e2. BN＝e2，BM＝AB＝e1，∴MN＝BN－BM＝e2－e1.又 MD＝AD－AM＝e2－e1＝3＝3MN，∴向量MN与MD共线，又 M 是公共点，故 M，N，D 三点共线.平面向量的数量积平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零.平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度. 非零向量 a，b 满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求 a，b 的夹角的余弦值.【精彩点拨】 →→【规范解答】 由解得所以|a||b|＝－a·b，所以 cos θ＝＝－.[再练一题]2.如图 23 所示，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BD，垂足为 P，且 AP＝3，则AP·AC＝________.图 23【解析】 AP·AC＝AP·(AB＋BC)＝AP·AB＋AP·BC＝AP·AB＋AP·(BD＋DC)＝AP·BD＋2AP·AB. AP⊥BD，∴AP·BD＝0. AP·AB＝|AP||AB|cos...
