第二章 数列1 数列中的数学思想数学思想在数列的学习中起着重要的作用．若能根据问题的题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能迅速找到解题思路，从而简便、准确求解．1．方程思想例 1 在等比数列{an}中，已知 a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求通项 an.分析 欲求通项 an，需求出 a1及 q，为此根据题设构造关于 a1与 q 的方程组即可求解．解 方法一 a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，∴a2＝2.从而解得 a1＝1，a3＝4 或 a1＝4，a3＝1.当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝.故 an＝2n－1或 an＝23－n.方法二 由等比数列的定义知 a2＝a1q，a3＝a1q2，代入已知得即即将 a1＝代入①，得 2q2－5q＋2＝0，∴q＝2 或 q＝，由②得或∴an＝2n－1或 an＝23－n.2．分类讨论思想例 2 已知{an}是各项均为正数的等差数列，且 lga1，lga2，lga4 也成等差数列，若 bn＝，n＝1,2,3，…，证明：{bn}为等比数列．证明 由于 lga1，lga2，lga4成等差数列，所以 2lga2＝lga1＋lga4，则 a＝a1·a4.设等差数列{an}的公差为 d，则有(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得 d2＝da1，从而 d(d－a1)＝0.(1)当 d＝0 时，数列{an}为常数列，又 bn＝，则{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为 1 的等比数列．(2)当 d＝a1≠0 时，则 a2n＝a1＋(2n－1)d＝d＋(2n－1)d＝2nd，21na21na所以 bn＝＝·，这时{bn}是首项 b1＝，公比为的等比数列．综上，{bn}为等比数列．3．特殊化思想例 3 在数列{an}中，若＝k(k 为常数)，n∈N*，则称{an}为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：① k 不可能为 0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为 0.其中正确的判断是________．分析 本题为新定义题，且结论具有开放性，解决本题可借助新定义构造特殊数列，排除不正确的判断，从而简捷求解．解析 数列 a，a，…，a(a≠0)既是等差数列，又是等比数列，但不满足＝k，即不是等差比数列，故②、③不正确；①明显正确；数列 0,1,0,1，…是等差比数列，且有无数项为0，故④正确．答案 ①④4．整体思想例 4 在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则 a99＋a100＝________.分析 根据题设条件可知＝q10＝，而＝q90，故可整体代入求解．解析 设等比数列{an}的公比为 q，则＝q10＝，又＝q90＝(q10)9＝9，故 a99＋a100＝9(a9＋a10)＝.答案 2 求数列通项的四大法宝...
