第二章 数列1 函数的视角看数列数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．下面从函数角度对数列有关问题进行分析，体会数列与函数的有机结合．一、利用函数单调性求数列的最大项例 1 已知数列{an}的通项公式为 an＝nn＋1，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．分析 设 an＝f(n)，可通过函数 f(n)的单调性来判断数列的单调性，从而求解．解 设 an＝f(n)，则 f(n)＝nn＋1，f(n＋1)＝(n＋1)n＋2.则 f(n＋1)－f(n)＝(n＋1)·n＋2－nn＋1＝n＋1·，当 n>3 时，f(n＋1)－f(n)<0；当 1≤n≤3 时，f(n＋1)－f(n)>0.综上可知，{an}在 n∈{1,2,3}时，单调递增；在 n∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项，且第 3 项为最大项．点评 数列可以看作是一个定义在正整数集(或其子集)上的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一组函数值．数列的通项公式体现了数列的项与其序号之间的对应关系．二、利用函数思想求数列的通项例 2 已知数列{an}的通项公式 an＝n2＋n＋，若：(1)数列{bn}满足 bn＝a2n－1，求{bn}的通项公式；(2)数列{cn}满足 cn＝a2n－1，求{cn}的通项公式．分析 设 an＝f(n)，函数 f(n)中的 n 用某一代数式 φ(n)代替，整理，即可求解．解 设 f(n)＝n2＋n＋，则：(1)bn＝f(2n－1)＝(2n－1)2＋2n－1＋＝4n2－2n＋，则 bn＝4n2－2n＋.(2)cn＝f(2n－1)＝(2n－1)2＋2n－1＋＝4n－2n＋，则 cn＝4n－2n＋.点评 数列是特殊的函数，因此要善于运用函数的观点、知识来解决数列的有关问题，居高临下使问题变得清晰，问题的解决也往往简捷得多．三、利用函数周期性求数列的项例 3 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则 a2 013的值为________．分析 如果直接求 a2 013，运算量太大，而求通项 an也很难办到，那么数列{an}的各项之间是否有规律可循？不妨从前几项入手试一试．解析 由 a1＝1，a2＝6，及 an＋2＝an＋1－an，得a3＝a2－a1＝6－1＝5，a4＝a3－a2＝5－6＝－1，a5＝a4－a3＝－1－5＝－6，a6＝a5－a4＝－6－(－1)＝－5，a7＝1，a8＝6，a9＝5，a10＝－1，a11＝－6，a12＝－5，…，因此{an}是以 6 为周期的数列，所以 a2 013＝a6×335＋3＝a3＝5.答案 5点评 由数列的递推公式写出数列的前几项，再由前几项归纳、猜想、发现数列的周期性，从而解决问题....
