高中数学 第二章 平面向量章末复习课学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案VIP专享

第二章 平面向量章末复习课 [整合·网络构建][警示·易错提醒]1．有关向量的注意点(1)零向量的方向是任意的．(2)平行向量无传递性，即 a∥b，b∥c 时，a 与 c 不一定是平行向量．(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量．2．向量的运算律中的注意点(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)．(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c).专题一 有关向量共线问题有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λ b(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.[例 1] 已知 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若 k a＋2b 与 2a－4b 平行，求实数 k 的值．解：法一：向量 k a＋2b 与 2a－4b 平行，则存在唯一实数 λ，使 k a＋2b＝λ(2a－4b)．因为 k a＋2b＝4(1，2)＋2(－3，2)＝(k－6，2k＋4)．2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，所以(k－6，2k＋4)＝λ(14，－4)．所以解得即实数 k 的值为－1.法二：因为 k a＋2b＝k(1，2)＋2(－3，2)＝(k－6，2k＋4)，2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，ka＋2b 与 2a－4b 平行，所以(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0.解得 k＝－1.归纳升华1．向量与非零向量 a 共线⇔存在唯一实数 λ 使 b＝λa. 2.在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a＝(x1，y1)与 b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0.[变式训练] 平面内给定三个向量 a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)求满足 a＝m b＋n c 的实数 m、n；(2)若(a＋k c)∥(2b－a)，求实数 k.解：(1)因为 a＝mb＋nc，所以(3，2)＝(－m＋4n，2m＋n)．所以解得(2)因为(a＋k c)∥(2b－a)，a＋k c＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)．所以 2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即 k＝－.专题二 有关向量的夹角、垂直问题非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为 θ，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，cos θ＝＝ .[例 2] 已知向量 a，b 满足|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝，求向量 a＋b 与 a－b 的夹角θ 的余弦值．解：由已知|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝，所以(a＋b)2＝13.所以 a2＋2a·b＋b2＝13，则()2＋2a·b＋22＝13，得 2a·b＝6.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝()2－6＋22＝1，所以|a－b|＝1.所以 cos θ＝＝＝＝－.归纳...