高中数学 第二章 平面向量章末小结与测评教学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教学案VIP专享

第二章 平面向量1．平面向量的线性运算及运算律(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．2．向量共线及平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．特别地，平面内一点 P 位于直线 AB 上的条件是存在实数 x，使，或对直线外任意一点 O，有 (2)平面向量基本定理：如果向量 e1，e2不共线，那么对于平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.其中 e1，e2是平面的一组基底，e1，e2分别称为基向量．由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．[典例 1] 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，点 M、N 分别是 DA、BC 的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以 e1、e2为基底表示向量、 [对点训练] (3)确定点 P 在边 BC 上的位置． 所以解得所以解得即＝2，P 是边 BC 上靠近 C 的三等分点.若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；②a－b＝(a1－b1，a2－b2)；③λa＝(λa1，λa2)；④a·b＝a1b1＋a2b2；⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2(λ∈R)，或＝(b1≠0，b2≠0)；⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；⑦|a|＝＝；⑧ 若 θ 为 a 与 b 的夹角，则cos θ＝＝ .[典例 2] (1)已知点 A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )A. B.C. D.(2)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m，2), 若 a∥b, 则实数 m 等于( )A．－ B.C．－或 D．0(3)已知点 A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )A. B.C．－ D．－解析：(1)由已知，得＝(3，－4)，所以||＝5，因此与同方向的单位向量是＝.(2)a∥b 的充要条件的坐标表示为 1×2－m2＝0，∴m＝±，选 C.(3) ＝(2，1)，＝(5，5)，向量＝(2，1)在＝(5，5)上的投影为||cos...