第二章 数列1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．2．求数列的通项(1)数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系：an＝(2)当已知数列{an}中，满足 an＋1－an＝f(n)，且 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项 an，常利用恒等式 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．(3)当已知数列{an}中，满足＝f(n)，且 f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的通项 an，常利用恒等式 an＝a1···…·.(4)构造新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法．3．等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；＝q(q 为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；a＝an·an＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列．(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b 是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q 为非零常数)⇔{an}是等比数列．(4)前 n 项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b 为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；Sn＝aqn－a(a，q 为常数，且 a≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋)⇔{an}是等比数列．4．求数列的前 n 项和的基本方法(1)公式法：利用等差数列或等比数列前 n 项和 Sn公式；(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5)倒序相加：例如，等差数列前 n 项和公式的推导．题型一 方程的思想解数列问题在等差数列和等比数列中，通项公式 an和前 n 项和公式 Sn共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中首项 a1和公差 d(或公比 q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于 a1，an，n，d(或 q)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．例 1 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝21，S15＝－75，Tn为数列{}的前 n 项和，求 Tn的最大值．解 设等差数列{an}的公差为 d，则Sn＝na1＋n(n－1)d. S7＝21，S15＝－75，∴即解得 a1＝9，d＝－2.∴Sn＝na1＋d＝9n－(n2...
