高中数学 第四章 定积分 2 微积分基本定理学案 北师大版选修2-2-北师大版高中选修2-2数学学案

§2 微积分基本定理学习目标重点难点1.通过实例直观了解微积分基本定理．2．利用微积分基本定理求基本函数的定积分.重点：借助位移与速度的关系直观了解微积分基本定理，并运用微积分基本定理求定积分．难点：微积分基本定理的理解.微积分基本定理：如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即________，则有 f(x)dx＝________.定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称 F(x)是 f(x)的__________．在计算定积分时，常常用符号________来表示 F(b)－F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作 f(x)dx＝____________.预习交流想一想：运用微积分基本定理求定积分的关键是什么？如何求 F(x)?答案：预习导引f(x)＝F′(x) F(b)－F(a) 一个原函数 F(x)F(x)＝F(b)－F(a)预习交流：提示：计算定积分 f(x)dx 的关键是找到满足 F′(x)＝f(x)的函数 F(x)．通常我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F(x)．注意(F(x)＋c)′＝f(x)，也就是说 f(x)的原函数不只一个．在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、已知导函数求原函数下列函数 f(x)是 F(x)的导数，求 F(x)．(1)f(x)＝x2；(2)f(x)＝sin x；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝2x.思路分析：先预测某个函数的导数出现 f(x)，再对系数进行调整得 F(x)．f(x)是一次函数，且 f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，则 f(x)的解析式为( )．A．4x＋3 B．3x＋4C．－4x＋2 D．－3x＋41 微积分揭示了导数和定积分之间的内在联系，因此要求一个函数的原函数，要先预测什么函数的导数会出现关于 f(x)的式子，再经过调整求出 F(x)，而求定积分时，只需 F(x)中最简单的一个就可以了．二、由微积分基本定理求定积分计算下列定积分：(1)dx；(2)sin xdx；(3)dx.思路分析：先求原函数 F(x)，再求定积分的值．求定积分 x|x|dx 的值． 求导与微积分基本定理在一定程度上可以理解为互为逆运算，它们的联系就是常见函数的导数公式，所以要熟记这些公式就能更好地解决定积分问题．有限个函数代数和的积分，等于各个函数积分的代数和，分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．答案：活动与探究 1：解：(1) (x3)′＝3x2，∴x2＝′，∴F(x)＝x3＋c(c 为常数)．(2) (cos x)′＝－sin x，∴sin x＝(－cos x)′，∴F(x)＝－cos x＋c(c 为常数)．(3) (ln x)′＝，∴F(x)＝ln x＋c(c 为常数)．(4) (2x...