高中数学 第四章 定积分章末分层突破学案（含解析）北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案

第四章 定积分 [自我校对]① 面积、路程 ②做功 ③牛顿莱布尼茨 ④ 面积 ⑤体积 定积分的计算1.利用定义求定积分.步骤：(1)分割区间；(2)求过剩估计值、不足估计值；(3)取极限.2.利用定积分的几何意义求定积分.3.利用微积分基本定理求定积分.若 F′(x)＝f(x)，＝F(b)－F(a). 求下列定积分.(1)dx；(2) dx.【精彩点拨】 (1)可用定积分的几何意义求解；(2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解.【规范解答】 (1)dx 表示的是图中阴影所示半径为 2 的半圆的面积.1其面积为×π×22＝2π，所以 dx＝2π.(2) ＝∴dx＝dx＋dx. ′＝，∴dx＝－＋＝－＋＋－＝.[再练一题]1.计算下列定积分.(1)dx； (2) (cos x＋2x)dx.【解】 (1) dx＝dx＝[ln x－ln(x＋1)]＝ln .(2) (cos x＋2x)dx＝＝2＋(2－2).定积分在几何中的应用1.由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用.求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解.2.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积.如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等.计算由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，x＝b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积为 V＝ 求由曲线 y＝x2＋4 与直线 y＝5x，x＝0，x＝4 所围成的平面图形的面积.【精彩点拨】 →→→ 【规范解答】 画出草图，如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组得交点 A(1，5)，B(4，20).故所求平面图形的面积S＝(x2＋4－5x)dx＋(5x－x2－4)dx＝＋＝＋4－＋×42－×43－4×4－＋＋4＝.[再练一题]2.求曲线 y＝sin x，x∈[0，π]与 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周所得到旋转体的体积. 【解】 由体积公式 V＝πy2dx＝π(sin x)2dx2数形结合思想的应用数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的几何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积.在做题前首先要画出图形，确定图形是在 x 轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限. 如图 41 所示，在区间[0，1]上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定 t 的值，使图中阴影部分的面积 S1与 S2之和最小.图 41【精彩点拨】 确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值.【规范解答】 S1的面积等于边长分别为 t 与 t2的矩形面积去掉曲线 y＝x2与 x 轴，直线x＝t 围成的面积.即 S1＝t·t2－x2dx＝t3；S2的面积等于曲线 y＝x2与 x 轴，x＝t，x＝...