高中数学 第四章 函数应用 4.1 函数与方程学案（含解析）北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案

第四章 函数应用§1 函数与方程知识点一 函数的零点 [填一填]对于函数 y＝f(x)，把使 f ( x ) ＝ 0 的实数 x 叫作函数 y＝f(x)的零点．[答一答]1．函数的零点是点吗？如何求函数的零点？提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程 f(x)＝0 得到．2．当二次函数通过零点时，函数值一定变号吗？提示：不一定．如下图，x0是函数的零点，当函数通过零点时，函数值不变号．知识点二 方程的根、函数的零点、图像之间的关系 [填一填]方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图像与 x 轴有交点 ⇔函数 y＝f(x)有零点．[答一答]3．怎样理解方程的根、函数的零点、图像之间的关系？提示：函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根，也就是函数 y＝f(x)的图像与 x 轴交点的横坐标．所以，函数 y＝f(x)的图像与 x 轴有几个交点，函数 y＝f(x)就有几个零点，方程 f(x)＝0 就有几个解．知识点三 函数零点的存在性定理 [填一填]如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a )· f ( b )<0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个 c 也就是方程f(x)＝0 的根．[答一答]4．若函数 y＝f(x)满足在区间 [a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在(a，b)内的零点唯一吗？提示：不一定．如 f(x)＝x3－x 在区间[－2,2]上有 f(2)·f(－2)<0，但 f(x)在(－2,2)内有三个零点－1,0,1；如 f(x)＝x＋1，在区间[－2,0]上有 f(－2)·f(0)<0，在(－2,0)内只有一个零点－1.5．若函数 y＝f(x)满足在区间 [a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)>0，是不是说函数 y＝f(x)在(a，b)内没有零点？提示：y＝f(x)在(a，b)内也可能有零点．如 f(x)＝x2－1，在区间[－2,2]上有 f(－2)f(2)>0，但在(－2,2)内有两个零点－1,1.知识点四 二分法的概念 [填一填]对于在区间[a，b]上连续不断，且 f ( a )· f ( b )<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫作二分法．[答一答]6．用二分法求函数零点的适用条件是什么？提示：① f(x)的图像在区间[a，b]上连续不断；②f(a)f(b)<0.知识点五 用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 [填...