第四章 函数应用[自我校对]① 指数函数② 对数函数③ 幂函数 函数的零点与方程的根的关系及应用 1. 函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图像与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点． 2. 确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与 x 轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断． 设 g(x)＝e2x＋|ex－a|，x∈[0，ln 3]，其中 a≤2.(1)当 a＝1 时，函数 g(x)是否存在零点，若存在，求出所有零点；若不存在，说明理由；(2)求函数 g(x)的最小值．【精彩点拨】 使用换元法和分类讨论思想求解．【规范解答】 (1)当 a＝1 时，设 t＝ex(显然 t∈[1,3])，则 h(t)＝t2＋t－1，令 h(t)＝t2＋t－1＝0，解得 t＝或 t＝都不满足 t∈[1,3]，∴函数 g(x)不存在零点．(2)设 t＝ex，则 h(t)＝t2＋|t－a|(显然 t∈[1,3])．当 a≤1 时，h(t)＝t2＋t－a 在区间[1,3]上是增函数，所以 h(x)的最小值为 h(1)＝2－a.当 1＜a≤2 时，h(t)＝因为函数 h(t)在区间(a,3]上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数，又函数 h(t)在[1,3]上为连续函数，所以函数 h(t)在[1,3]上为增函数，所以 h(t)的最小值为 h(1)＝a.综上可得，当 a≤1 时，g(x)的最小值为 2－a；当 1＜a≤2 时，g(x)的最小值为 a.[再练一题] 1. 已知函数 f(x)＝若关于 x 的方程 f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是________. 【导学号：04100081】【解析】 在同一坐标系中作出 f(x)＝及 y＝k 的图像(如下图)．可知，当 0＜k＜1 时，y＝k 与 y＝f(x)的图像有两个交点，即方程 f(x)＝k 有两个不同的实根．【答案】 (0,1)用二分法求函数的零点或方程的近似解 1. 看清题目的精度，它决定着二分法的结束． 2. 根据 f(a0)·f(b0)＜0 确定初始区间，高次方程要先确定有几个解，再确定初始区间． 3. 初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大． 4. 取区间中点 c，计算中点函数值 f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，an与 bn按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解． 求的一个近似值．(精度为 0.01)【精彩点拨】 利用转化与化归思想求解．【规范解答】 设 x＝，∴x3－2＝0，令 f(x)＝x3－2，则 f(x)的零点即为的近似值，下面用二分法求解．由 f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，可...
