第四章 函数应用[自我校对]① 指数函数② 对数函数③ 幂函数 函数的零点与方程的根的关系及应用 1
函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图像与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点． 2
确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与 x 轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断． 设 g(x)＝e2x＋|ex－a|，x∈[0，ln 3]，其中 a≤2
(1)当 a＝1 时，函数 g(x)是否存在零点，若存在，求出所有零点；若不存在，说明理由；(2)求函数 g(x)的最小值．【精彩点拨】 使用换元法和分类讨论思想求解．【规范解答】 (1)当 a＝1 时，设 t＝ex(显然 t∈[1,3])，则 h(t)＝t2＋t－1，令 h(t)＝t2＋t－1＝0，解得 t＝或 t＝都不满足 t∈[1,3]，∴函数 g(x)不存在零点．(2)设 t＝ex，则 h(t)＝t2＋|t－a|(显然 t∈[1,3])．当 a≤1 时，h(t)＝t2＋t－a 在区间[1,3]上是增函数，所以 h(x)的最小值为 h(1)＝2－a
当 1＜a≤2 时，h(t)＝因为函数 h(t)在区间(a,3]上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数，又函数 h(t)在[1,3]上为连续函数，所以函数 h(t)在[1,3]上为增函数，所以 h(t)的最小值为 h(1)＝a
综上可得，当 a≤1 时，g(x)的最小值为 2－a；当 1＜a≤2 时，g(x)的最小值为 a
[再练一题] 1
已知函数 f(x)＝若关于 x 的方程 f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是________
【导学号：04100081】【解析】 在同一坐标系中作出 f(x)＝及 y＝k 的图像(如下图)．可知，当 0＜k＜1 时，y＝k 与 y＝f
