高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差学案（含解析）新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

2．3.2 离散型随机变量的方差[目标] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法．[重点] 离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．[难点] 离散型随机变量的方差的计算与应用．知识点一 离散型随机变量的方差、标准差[填一填]1．方差及标准差的定义设离散型随机变量 X 的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)方差 D(X)＝.(2)标准差为.2．方差的性质D(aX＋b)＝a 2 D ( X ) ．[答一答]1．方差与标准差有什么实际意义？提示：随机变量 X 的方差和标准差都反映了随机变量 X 取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D(X)越小，稳定性越高，波动越小．显然≥0，随机变量的标准差与随机变量本身有相同的单位．2．你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？提示：设 x1、x2、…、xn为样本的 n 个数据，＝，则该样本数据的方差 s2＝(xi－)2·，由于相当于离散型随机变量中的 E(X)，而相当于每个数据出现的频率(概率)pi，故离散型随机变量 X 的方差可定义为：D(X)＝(xi－E(X))2·pi(i＝1,2，…，n)．3．随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个客观存在的常数，不随抽样样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随着样本的不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．知识点二 两个常见分布的方差[填一填]1．若 X 服从两点分布，则 D(X)＝p (1 － p ) ．2．若 X～B(n，p)，则 D(X)＝np (1 － p ) ．[答一答]4．两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系．1．对随机变量 X 的方差、标准差的理解(1)随机变量 X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量 X 的方差和标准差都反映了随机变量 X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)D(X)越小，稳定性越高，波动越小．(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．2．剖析方差的性质当 a，b 均为常数时，随机变量 η＝aξ＋b 的方差 D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．特别地：(1)当 a＝0 时，D(b)＝0，即常数的...