5．2.2 同角三角函数的基本关系1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．2．理解同角三角函数的基本关系式．3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tan α ＝.这就是说，同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切(α≠kπ＋，k∈Z)．温馨提示：(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如 sin23α＋cos23α＝1 成立，但是 sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立．(2)sin2α 是(sinα)2的简写，读作“sinα 的平方”，不能将 sin2α 写成 sinα2，前者是 α 的正弦的平方，后者是 α2的正弦．(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， sin2α＋cos2α＝1 对一切 α∈R 恒成立，而 tanα＝仅对 α≠＋kπ(k∈Z)成立．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角 α，sin2＋cos2＝1 都成立．( )(2)对任意角 α，＝tan2α 都成立．( )(3)若 cosα＝0，则 sinα＝1.( )(4)若 sinα＝，则 cosα＝＝.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一利用同角三角函数的基本关系式求值【典例 1】 (1)已知 cosα＝－，求 sinα 和 tanα.(2)已知 tanα＝3，求的值．[思路导引] 利用同角三角函数的基本关系式求解．[解] (1)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，因为 cosα＝－<0，所以 α 是第二或第三象限角，当 α 是第二象限角时，sinα＝，tanα＝＝－；当 α 是第三象限角时，sinα＝－，tanα＝＝.(2)原式＝＝＝－.[变式] (1)由本例(2)条件变为：“＝2”，求的值．(2)若本例(2)条件不变，求 sin2α＋cos2α 的值．[解] (1)由＝2 得 tanα＝3，所以原式＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝. 已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知 sinα＝m，可以先应用公式 cosα＝±求得 cosα 的值，再由公式 tanα＝求得 tanα 的值．(2)若已知 cosα＝m，可以先应用公式 sinα＝±求得 sinα 的值，再由公式 tanα＝求得 tanα 的值．(3)已知 tanα＝m，可以求或的值，将分子分母同除以 cosα 或 cos2α，化成关于tanα 的式子，从而达到求值的目的．(4)对于 asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α 的求值，可看成分母是 1，...
