高中数学 第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换学案（含解析）新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案VIP专享

5．5.2 简单的三角恒等变换[目标] 1.记住三角恒等变换常用公式；2.能够利用三角函数公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明．[重点] 三角恒等变换常用公式．[难点] 三角恒等变换的化简与求值．知识点一 降幂公式与半角公式 [填一填] [答一答]1．半角公式中“±”号如何选取？提示：符号由所在象限决定．2．已知 sinθ＝，且<θ<3π，则 sin＝－，cos＝－，tan＝2.解析： sinθ＝，<θ<3π，∴cosθ＝－＝－， <<，∴sin＝－＝－＝－.cos＝－＝－＝－.tan＝＝2(或 tan＝＝＝2)．知识点二 常见的三角恒等变换 [填一填]1．asinα＋bcosα＝(sinα·＋cosα·)＝sin(α＋φ)．(其中令 cosφ＝，sinφ＝)2．sin2α＝，cos2α＝，sinαcosα＝sin2α.[答一答]3．如何确定上述辅助角公式中的 φ 值？提示：可以由 sinφ 和 cosφ 的符号来确定 φ 所在的象限，由 sinφ 或 cosφ 的值确定角 φ 的大小．4．填空：(1)sinα±cosα＝sin.(2)sinα±cosα＝2sin.(3)sinα±cosα＝2sin.类型一 半角公式的应用 [例 1] (1)设 5π<θ<6π，cos＝a，则 sin 等于( )A． B．C．－ D．－(2)若 sin(π－α)＝－且 α∈，则 sin＝________.[解析] (1)由题知，5π<θ<6π，cos＝a，则 π<<π，则 sin＝－＝－.故选 D．(2) sin(π－α)＝－，α∈，∴sinα＝－，cosα＝－，又 ∈，∴sin＝cos＝－＝－.[答案] (1)D (2)－已知 θ 的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：1利用同角三角函数基本关系式求得 θ 的其他三角函数值；2代入半角公式计算即可.[变式训练 1] 已知 α∈(－，0)，cosα＝，则 tan＝( D )A．3 B．－3C． D．－解析：因为 α∈(－，0)，且 cosα＝，所以∈(－，0)，tan＝－＝－＝－，故选 D．类型二 三角恒等式的化简与证明 [例 2] 已知 π<α<，化简：＋.[解] 原式＝＋， π<α<，∴<<.∴cos<0，sin>0.∴原式＝＋＝－＋＝－cos.三角恒等变换是指依据三角函数的有关公式、定理，对三角函数式进行某种变形的过程，凡三角问题几乎都要通过三角恒等变换来解决.具体步骤如下：1发现差异——观察角、名、形三方面的差异；2寻找联系——根据式子的结构特征，找出差异间的联系；3合理转化——选取恰当的公式，进行恒等变形，促使差异转化.[变式训练 2] 化简得( A )A．sin2α B．cos2αC．sinα D．cosα解析： 4sin2tan＝4cos2tan＝4cossin＝2s...