幂函数形如 y=x^a(a 为常数）的函数，即以底数为自变量 幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 当 a 取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于 a 取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。 特性 对于 a 的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果 a=p/q，且 p/q 为既约分数（即 p、q 互质），q 和 p 都是整数，则x^(p/q)=q 次根号（x 的 p 次方），如果 q 是奇数，函数的定义域是 R，如果 q 是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数 a 是负整数时，设 a=-k，则 y=1/(x^k)，显然 x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞)。因此可以看到 x 所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是 0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为 0 与负数两种可能，即对于 x>0，则 a 可以是任意[实数； 排除了为 0 这种可能，即对于 x<0 或 x>0 的所有实数，q 不[能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于 x 为大于或等于 0 的所有实数，a 就不能是负数。 定义域 总结起来，就可以得到当 a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果 a 为任意实数，则函数的定义域为大于 0 的所有实数； 如果 a 为负数，则 x 肯定不能为 0，不过这时函数的定义域还必须根[据 q 的奇偶性来确定，即如果同时 q 为偶数，则 x 不能小于 0，这时函数的定义域为大于 0 的所有实数；如果同时 q 为奇数，则函数的定义域为不等于 0 的所有实数。 在 x 大于 0 时，函数的值域总是大于 0 的实数。 在 x 小于 0 时，则只有同时 q 为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有 a 为正数，0 才进入函数的值域。 由于 x 大于 0 是对 a 的任意取值都有意义的， 因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 第一象限 可以看到： （1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) a＞0 时 图象过点（0，0）和（1，1） （2）当 a 大于 0 时，幂函数为单调递增的，而 a 小于 0 时，幂函数为单调递减函数。 （3）当 a 大于 1 时，幂函数图形下凸；当 a 小于 1 大于 0 时，幂函数图形上凸。 （4）当 a 小于 0 时，a 越小，图形倾斜程度越大。 （5）显然幂函数无界限。 （6）a=0,该函数为偶函数 ｛x|x≠0｝。 图象 用心 爱心 专心1幂函数的图象用心 爱心 专心2
