高中数学利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法河南汤阴一中 杨焕庆（2006。4）1.形如型（1）若 f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若 f(n)为 n 的函数时，用累加法.方法如下： 由 得：时，，，所以各式相加得 即：.为了书写方便，也可用横式来写： 时，，=.例 1. （2003 天津文） 已知数列｛an｝满足,证明证明：由已知得：用心 爱心 专心 115 号编辑 = .例 2.已知数列的首项为 1，且写出数列的通项公式. 答案：例 3.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案： 评注：已知,，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;③若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 4.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则此题也可以用数学归纳法来求解.2.形如型（1）当 f(n)为常数，即：（其中 q 是不为 0 的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法.用心 爱心 专心 115 号编辑 由得 时，，=f(n)f(n-1). 例 1.设是首项为 1 的正项数列，且（ =1，2， 3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1), 即时，==.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.例 2.已知,求数列{an}的通项公式.解：因为所以故又因为,即，所以由上式可知,所以,故由累乘法得 =用心 爱心 专心 115 号编辑所以-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.3.形如型（1）若（d 为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为 2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.例 1. 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.分析 1：构造 转化为型解法 1：令则.时,各式相加:当 n 为偶数时，.此时当 n 为奇数时，此时,所以.用心 爱心 专心 115 号编辑故 解法 2：时，，两式相减得：.构成以,为首项，以 2 为公差的...