抽屉原则在解决存在性问题时，抽屉原则是一个强有力的工具.抽屉原则Ⅰ 将一个元素个数不少于的集合划分为个子集,,,， 则至少有一个子集,2,…,其元素个数，其中，表示的最大整数．推论 把一个元集划分为个子集，则至少有一个集合含有至少两个元素． 我们称这里的子集,,,为个“抽屉”．应用抽屉原则解题的关键是构造合适的抽屉，在不同的实际问题中抽屉的表现形式是不一样的；即使是对同一问题也可以从不同角度制造不同的抽屉．抽屉原则 I/ 从个互不相交的有限集中,,,取出个元素构成一个集合，则中至少有个元素属于某个,2,…,． 抽屉原则Ⅱ 将一个元素不多于的集合划分为个子集,,,，则至少存在一个集合,2,…,其元素数目．抽屉原则Ⅲ 把一个无限集划分为有限个子集,,,，则至少存在一个集合,2,…,仍为无限集．例 1 已知集合,, ,,， 是正整数， 是的子集，满足：对任意,,(其中,,可以相同)都有，求所有这种集合的元素个数的最大值．解析 考虑中那些较大的数．取,,,，显然，其中任三数之和大于．故．另一方面，作三元子集列1,,,,，,,, ，则，对于的任一个元子集，必包含有某个．若，则其中有元素；若某个，,,,，则其中有元素．于是 ．所以，．抽屉原则应用过程中的抽屉制造实质就是对问题涉及的某些对象进行分类 . 因此，首先应弄清楚对哪些对象分类，分多少类，按什么规则分．例 2 从 ,,,中任意选个数，证明：一定存在两个数的差恰好等于． 解析 按模的余数, ,,,，把整数分类为类. 现有个数，且，故由抽屉原则可知，在这个数中必有个数属于同一类，即这个数中任意两数的差都是的倍数. 如果这个数中，每两个数之差都不是，那么这样的最小的个数是：，，，， ，这与已知条件不符．所以，选出的个数中一定存在两数之差恰好等于.例 3 一位棋手参加周(天)的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下盘棋．证明：这位棋手必定在连续的几天内恰好下盘棋．解析 用表示这位棋手在第 天至第 天(包括第 天在内)所下的棋的总盘数．由于棋手每天至少下一盘棋，所以．又由于棋手每周至多下盘棋，所以．要证明存在 ,,，使，这只需证明在,,,,,,中有两项相同即可．2事实上，上面的个数中最小的，最大的．由抽屉原则 I/，必有两数相同．例 4 试卷上共有 4 道选择题，每题有 3 个可供选择的答案．一群学生参加考试，结果是对于其中任何 3 人，都有一个题目的答案互不相同，问参加考试的学生最多有多少人?解析 设每题的 3 个选择支...
