高中数学数列通项公式求法的进一步思考

淮安市 2008 年高中数学优秀教育教学成果参评学校：新马外国语国际学校姓名： 杨 天 进 ______ 日期: 2008.6.16_________用心 爱心 专心数列通项公式求法的进一步思考递归数列通项公式的求法摘要：数列是高中数学中的重要内容,求数列的通项公式就是其中最为常见的题型之一,每年都有一个大题, 既可考查等价转化与化归这一数学思想,又能反映考生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性,而且数列问题背景新颖,综合性强,能力要求高,思维力度大,内在联系密切,思维方法灵活,致使很多考生在数列题当中失分较多,特别是已知条件以递推形式给出的数列——递归数列,求其通项公式就显得更加困难. 本文对几类常见的递归数列求通项问题作一些探求,希望对大家有所启发.关键字：递归数列 递推公式 通项公式 求法一、定义：对任意的自然数 n,有递推关系 确定的数列,其中为初始值，r 为递归数列的阶数。二、通项公式的求法类型 1.若数列例 1.（07年北京考卷 15 题）数列.(1)求 c 的值 （2）求的通项公式.分析：有条件（1）易知则=点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解，称之为叠加法。类型 2. 若数列=…·例 2：在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。分析：由(n+1)·=n·得，用心 爱心 专心=··…= 所以点评：一般地，对于型如= (n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法；称之为叠乘法.类型 3. 若数列p=1 为等差，q=0 时为等比.当构造 1：，转化类型 1，可求其通式构造 2：设存在，即可求其通式例 3.（07 年全国试卷Ⅰ 22 题）已知数列(1) 求的通项公式；(2) 若数列分析：（1）利用构造 2:由，,可求其通式公式.利用构造 1：，同样可求得其通项公式.类型 4. 若数列分析：可在式子的两边同除以，化为类型 3 构造 1，可求其通项公式.例 4.（07 年天津 21 题）在数列中，（1） 求数列的通项公式；（2） 求数列的前 n 项和；（3） 证明存在分析：由题意得： 所以是首项为 0，公差为 1 的等差数列，即类型 5. 若数列p,q 为常数.分析：若能找到--①，令 用心 爱心 专心，则为等比数列，且，由此可化为类型 4.下面主要探讨如何来确定：①可化为，比较得，此方程称的特征方程.于是有所以，，转化为类型 4 可求其通式. 分析：上式可化为， ，转化为类型1,可求其通式.已知数列的递推关系求数列的通项公式，都可转化化归为以上五中...