递推数列通项的常用求法数列是高中代数的重点内容之一，也是高考考查的重点，而递推数列的通项公式又是数列这一章的一个重点，也是难点，很多同学在这方面都存在着很大的问题下面就常见的几种递推数列，谈谈此类数列的通项公式的求法。类型 1 递推关系式形如 或 (其中不是常量函数)例 1 设数列中，，求通项. （2008.四川.文 16）解：根据题意得 令，得 ······ （）（注：此处只能到项）等式两边同时相加得==所以 （检验当时也成立） 练习 1 在数列中，，求. （2008.江西.5）2 已知数列中，，求.（2008.天津.理 15 改编）例 2．设是首项为 1 的正项数列,且，求. (2000.全国.15)解：根据题意 化简得.即 (且)令 ，得： ······ 等式两边同时相乘得：即 （）1即 (且)即 （检验当时也成立） 点评：在运用累加法和累乘法时，要看清项数，计算时项数易出错。练习 3 已知数列满足， ，求. （2004.全国Ⅱ.理 15）类型 2 递推关系式形如 （为常数）（1）转化为成等差数列，即.（2）转化为成等比数列，即.（3）.其中（1）（2）两种在此不再介绍，下面就（3）来探讨一下：例 3．已知数列中，若，，求数列的通项公式. (2006.重庆.理 14)解：根据题意由 得 故 是以为首项，2 为公比的等比数列.所以 即 点评：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式。那么本题的关键是如何想到同加适当的常数“3” 构造等比数列，我们可以通过设参数的方法逼出常数。解： （设参数） （提系数） （令相等） （得参数） 练习 4 已知数列中，，，，求.（2007.全国Ⅰ.理 22）25 设数列满足，，，其中 ， 为实数，且，求数列的通项公式. （2008.安徽.文 21）类型 3 递推关系式形如 （为常数）例 4．在数列中，，求数列的通项公式.(2008 全 国 Ⅰ . 文 19 改编)解法一：根据题意在的两边除以 得 则 令 则 即 （问题便转化为类型 2）解得 所以 点评：此类问题的一般解法是构造辅助数列即两边同除以(或)，再化为来求解。通过变形，构造辅助数列,转化为基本数列的问题，是我们求解陌生的递推关系式的常用方法。解法二：= = =猜想数列的通项公式为以下用数学归纳法证明① 当时，，等式成立.② 假设当()时等式成立，即那么===当时等式也成立，根据①和②可知对任何，等式都成立.点评：数学归纳法是证明有关自然数 n 的命题的一种方法，应用非常广泛，它是...
