高中数学解析几何综合题中的韦达定理

河北邯郸市广平县第一中学：康智星，邮编：057650,手机：13513303789,E-mial:zhixingmail◎china.com解析几何综合题中的韦达定理在解析几何的综合题中，直线与圆锥曲线是永恒的主题，不少考生对突破这一常规难点心存疑虑，信心不足。造成这一困惑的主要原因除运算量较大外，还有一个非常重要的原因是对韦达定理在解题中的应用技巧认识不足，训练不到位。 中国人们大学附属中学的王建民老师曾就解决直线与圆锥曲线的综合问题提出过三个环节：第一，当直线与圆锥曲线交于两个点时，将直线方程与曲线方程联立，得到一个变元的一元二次方程，这时便可得到①判别式0（问题成立的必要条件），②韦达定理表达式；这一环节千篇一律，易于掌握。第二，用12xx和12x x （或12yy和12y y ）或坐标的其他形式表示本题中涉及到的量或关系。这一环节的特点是千变万化，丰富多彩，不易把握，是主要矛盾。我们解题的主要工作量和难点就在于此。在解题实践中，我总结出关于韦达定理应用的三个变式技巧，就像三把“利剑”,可以帮助大家解决很多问题。 一、利用2121212()4xxxxx x（或2121212()4yyyyy y）将与长度或面积有关问题与韦达式联合例 1，从抛物线22ypx外一点( 2, 4)A 引倾角为045 的直线交抛物线于12,P P 两点。若1122,,APPPAP 成等比数列，求抛物线方程。分析：设111( ,)P x y,222(,)P xy由已知易得，直线方程为2yx ，代入22ypx中，可得2(42 )40xp x ， 所 以2(42 )160p ， 解 得0p 或4p  ， 且121242 ,4xxp x x  （＊）,因为1122,,APPPAP 成等比数列，所以，112122APPPPPAP,利用平几知识，将平面直角坐标系下的距离比化为一维（ x 轴）上的长度之比，即12121222xxxxxx，即,将（＊）式代入可化得，， 若，则有，解的（舍去）若，此时无解。若，解的，均应舍去。故。例 2（2007 年高考全国卷）已知椭圆的左、右焦点分别为.过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，1yxABCA1OF河北邯郸市广平县第一中学：康智星，邮编：057650,手机：13513303789,E-mial:zhixingmail◎china.com二、利用（或）实施消元变形。例 2：已知椭圆2212xy 的右准线为l ,过右焦点 F 的直线与椭圆相交于,A B 两点,经过 B点与 x 轴平行的直线交右准线于C 点,求证直线 AC 过一定点.解题分析：1.1 首先用特殊直线探究定点位置。当 AB...