高中数学素材：合理构造函数解导数问题

合理构造函数解导数问题 构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。 例 1：（2009 年宁波市高三第三次模拟试卷 22 题）已知函数  axxxaxxf231ln.(1) 若32 为 xfy 的极值点，求实数a 的值；(2) 若 xfy 在,1上增函数，求实数a 的取值范围；(3) 若1a时，方程  xbxxf311有实根，求实数b 的取值范围。解：（1）因为32x是函数的一个极值点，所以0)32(f，进而解得：0a，经检验是符合的，所以.0a （2）显然 ,2312axxaxaxf结合定义域知道01 ax在 ,1x上恒成立，所以0a且01 axa。同时axx 232此函数是31x时递减，31x时递增， 故此我们只需要保证 02311aaaf，解得：.2510a（3）方法一、变量分离直接构造函数解：由于0x，所以：2lnxxxxb32lnxxxx 2321lnxxxxg  xxxxxxg1266212当6710 x时， ,0 xg所以 xg在6710 x上递增；当671x时， ,0 xg所以 xg在671x上递减； 又 ,01 g  .6710,000xxg当00xx 时， ,0 xg所以  xg在00xx 上递减；当10 xx时， ,0 xg所以10 xx上递增；用心 爱心 专心x xg01原函数草图0xx xg 0671x二阶导数草图x xg010x671x一阶导数草图当1x时， ,0 xg所以  xg在1x上递减；又当x时，  ,xg 41lnlnln232xxxxxxxxxxxg当0x时，,041lnx则  ,0xg且  01 gb 的取值范围为.0, xxxxxxg1266212， 2321lnxxxxg，  32lnxxxxxg方法二、 构造：  2lnxxxxG xxxxxxxxxxxxG1121212211220x 10x  0 xG 从而  xG在1,0上为增函数； ,0,1xGx从而  xG在,1上为减函数  01 GxG 而0x  0xGxb...