处理抽象函数的两种方法对比山东省利津县第一中学 胡彬 257400抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题.一.函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有:1，利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3，利用周期性回归已知 4;利用对称性数形结合;5，借助特殊点，布列方程等.二.特殊化方法1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将 x 换成－x 等；2、在求函数值时，可用特殊值代入；3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法.总之抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感.点评：本题以高等数学知识为背景，与初等数学知识巧妙结合，考查了函数及其性质、不等式性质，考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想.一．函数性质法1、利用函数的奇偶性例 1．已知函数 f(x)=ax5+bsinx+3 且 f(-3)=7，求 f(3)的值。分析：f(x)的解析式中含有两个参数 a、b，却只有一个条件 f(-3)＝7，无法确定出 a、b 的值，因此函数 f(x)(解析式不确定)是抽象函数。注意到g(x)=ax5+bsinx=f(x)-3 是奇函数，可得 g(-3)=-g(3), 7=f(-3)=g(-3)+3,即 g(-3)=4, f(3)=g(3)+3=-g(-3)+3=-4+3=-1。注：这种解法运用了整体思想，化整体为局部，再由局部问题的解决使整体问题得解。2．利用函数的周期性例 2．已知 f(x)是定义在实数集上的函数且满足 f(x+2)(1-f(x))=1+f(x)，f(1)=1997，求f(2001)的值.分析：易知 f(x)1,所以有 用心 爱心 专心 ∴ ...
