巧用向量求解共线、共面问题 证明三点共线和四点共面是空间向量的重要应用．解决这类问题的关键是把三点共线和四点共面问题分别转化为向量共线和向量共面问题．依据共线向量、共面向量定理和向量基本定理可以有下面的具体结论： （1）Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线ABAC�∥ 存在实数 x，使 ACxAB�存在惟一的一对实数 x，y，使得OCxOAyOB�，且1xy ． （2）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共面AD�与 AB AC�，共面 存在实数对 ()xy，，使ADxAByAC�存在惟一的一组实数 x，y，z，使得ODxOAyOBzOC�，且1xyz ． 下面举例说明其应用． 一、三点共线问题 例１ 在空间中，已知点(251)( 142)( 433)ABC， ， ，， ，，， ，，求证：点Ａ、Ｂ、Ｃ共线． 证明：由已知，得( 311)( 6 22)ABAC �，， ，，，． 因为( 6 22)2( 311)，，，，，所以2ACAB�． 故Ａ、Ｂ、Ｃ共线． 点评：本题通过向量的坐标运算转化为向量关系，运用方法（１）得证． 例 2 已知 OAOBOCODOE�，，，，abcde ．又点Ｏ、Ａ、Ｂ不共线，如果a=3c，b=2d，()teab ，t R ．试问：t 为何值时，Ｃ、Ｄ、Ｅ三点共线？ 解析：()3232OEttttttOCtOD �eababcd． 由于点Ｏ、Ａ、Ｂ不共线，得OC OD�，不共线，若使点Ｃ、Ｄ、Ｅ共线，则有 3t+2t=1，解得15t ． 故当15t 时，Ｃ、Ｄ、Ｅ三点共线． 点评：本题先表示为向量之间的线性关系，然后直接运用（１）的结论求解． 二、四点共面问题 例 3 已 知 正 方 体1111ABCDA B C D， Ｐ 、 Ｍ 为 空 间 任 意 两 点 ， 若用心 爱心 专心1111764PMPBBAAAA D�，试问Ｍ点是否一定在平面11BA D 内？并证明你的结论． 解析：1111764PMPBBAAAA D�111117()4PBAABAAAA D�1111174PBBBBAA D�1111174PBB BBAA D�11174PBBAA D�1117()4()PBBPPAA PPD�11634PBPAPD� 由 6341 ，得Ｍ、Ｂ、1A 、1D 四点共面． 故Ｍ点在平面11BA D 内． 点评：本题运用空间向量的加、减与数乘运算，转化向量之间的关系后，依据方法（２）得证． 例 4 如 图 ， 矩 形 ABCD 所 在 平 面 外 一 点 Ｐ ， 连 接PA、PB、PC、PD． （1）四个三角形 PAB，PBC，PCD...
