高中数学：3.2 空间向量的应用 素材４ 苏教版选修2—1

运用向量法求解立体几何探索性问题 立体几何探索性问题是近年高考或各地模拟考试中的热点题型．向量作为一种工具，在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性．运用向量法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了．下面举例说明向量法在求解两类立体几何探索性问题中的运用． 一、条件探索型所谓“条件探索型”是指给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找使结论成立的条件的一类问题，这类问题的常用解法是逆推法，利用结论探求条件． 例 1 如图 1，棱长为１的正方体1111ABCDA B C D，E 是 BC 的中点，F 是棱 CD 上的动点（非 C、D 两点），设二面角1CEFC的大小为 ．试确定 F 点的位置，使得1cos3 ． 解析：以 A 为坐标原点，建立如图 1 所示的直角坐标系，则111(0 01)(111)102ACE ，，，，，，，，．设( 1 0)(01)F xx，，，易知111011022C EEFx�，，，，，．设()abc ， ，v是平面1C EF 的一个法向量，则11021(1)02C EbcEFxab��，，vv令1c  ，则1211x， ，v． 又1(0 01)AA �，， 是平面 AC 的一个法向量，∴11211cos151AAAAAAx ���，vvv．结合条件知可取1coscosAA �，v，用心 爱心 专心故2113151x ，解得12x 或32x （舍）．故当 F 是 CD 的中点时，1cos3 ．二、存在型所谓“存在型”是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需要说明理由．解答这一类问题时，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在．例 2 已知正三棱柱111ABCA B C的侧棱长为 2，底面边长为 1，M 是BC 的中点．在直线1CC 上是否存在一点Ｎ，使得1MNAB？若存在，请你求出它的位置；若不存在，请说明理由．解：假设在直线1CC 上存在一点Ｎ，使得1MNAB．如图 2，建立空间直角坐标系，有13 13 33 1(0 0 0)00(01)2224422ABMNzB，，，，， ，，， ，，， ，，，，∴13 13 122244ABMNz �，， ，，，． 1ABMN�，∴13 13 131220224488AB MNzz...