倍角三角形模型基本结论及其辅助线构造法

倍角三角形模型基本结论及其辅助线构造法假如一个三角形的内角等于另一个内角的 2 倍，那么这样的三角形为“倍角三角形”。倍角三角形的辅助线一般构造等腰三角形或作倍角的角平分线。【例 1】如图 1，△ABC 中，∠C=α，∠B=2α，AB=c，BC=a,AC=b，且（a＞b＞c）。求证：b² -c²=ac。【解析】如图 1—1，作∠B 的角平分线 BD，交 AC 于点 D，根据角平分线定理（详见角平分线在三角形中的比例关系 ）,ac=CDDA∶∶ ，∴（a+c）∶c=（CD+DA）∶DA=bDA∶，DA·(a+c∴）=bc；……①ABD=α,C=α∵∠∠，ABDACB,∴△∽△c²=DA·b∴，∴DA= c²/b，代入①式：（a+c）c²/b=bc，整理,得:b² -c²=ac。我们注意到在【例 1】没有限制∠A 和∠B 的数量关系，所以当∠A=nB∠ （n≥2)时，总有 b² —c²=ac 成立。【例 2】如图 2,ABC△中，∠C=α,B=2α∠，∠A=4α，AB=c，BC=a，AC=b，且（a＞b＞c).【解析】由【例 1】可知，倍角(2α）对边与原角（α）对边的平方差等于第三条边与原角（α）对边的乘积,可知（1）、(2）是正确的；对于（3），如图 2-1，作∠BAD=α，则∠CAD=CDA=3α,∠CD=b∴；∴△BADBCA∽△，c²=BD·a∴；BD=a—b∵，c²=a∴（a—b），化简，得:a²—c²=ab；对于(4),将（1)、（2）结论中得两式相加,得:a²—c²=(a+b）c,由（3):a²—c²=ab,∴（a+b）c=ab，假如【例 2】跳过（1)、（2）、(3），直接证明（4）的结论，也可以这样证明：如图 2—2，作∠BAC 的平分线 AD，作∠ABF=α，BF 交 DA 延长线于点 F；延长 CB 至点 E，使得∠AEC=α,连接 AE。则△ABCACD∽△，cAD= ab∶∶ ，DBF=3α∠，∠BDF=3α，FD=FB∴；易知,ABFBEA△△≌，FB=AE=b,FD=b∴∴，AF=c，AD=b—c∴，c(b-c∴ ∶）= ab,∶化简，得： 【例 3】如图 3,ABC△中，∠C=α，∠B=2α，∠A=6α，AB=c,BC=a，AC=b，且（a＞b＞c），试探讨 a,b,c 之间的数量关系。【解析】由【例 1】,因为∠B=2C∠ ，所以满足 b² -c²=ac；除此之外，我们再来探求其他的关系。显然可求得 α=20º，3α=60º，如图 3—1，在 BC 上找出两点D、E，满足∠CAD=2α，∠DAE=3α，则∠ADE=3α，ADE∴△为等边三角形；且△CADCBAABE∽△∽△，c²=a·BE……,∴①b²=a·CD……②，ADc=ba∶∶ ，∴AD=bc/a;+:① ②b² +c²=a(BE+CD）=a（a-DE）,DE=AD=bc/a,b² +c²=a∵∴（a—bc/a）,化简，得:b² +bc+c²=a²。【总结】善于思索和探究是学好一切自然科学的前提.