高中数学：第四章《抽象函数的性质问题》素材（北师大版必修1）

抽象函数的性质问题解析抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。材料一：若函数)1( xfy的定义域为)3,2[，求函数)21(xfy的定义域。解析：由)1( xfy的定义域为)3,2[，知1x中的)3,2[x，从而411x，对函数)21(xfy而言，有1124x，解之得：),21(]31,(x。所以函数)21(xfy的定义域为),21(]31,(总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1x与21 x的范围等同。2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。材料二：若函数)1( xfy的值域为]1,1[，求函数)23(xfy的值域。解析：函数)23(xfy中定义域与对应法则与函数)1( xfy的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(xfy的值域也为]1,1[。总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。材料三：设函数)(xfy 定义在实数集上，则函数)1( xfy与)1(xfy的图象关于（ ）A、直线0y对称 B 直线0x对称 C 直线1y对称 D 直线1x对称解 法 一 （ 定 义 证 明 ） ： 设 点),(00 yxP是 函 数)1( xfy的 图 象 上 的 任 意 一 点 ， 则)1(00xfy，),(00 yxP关 于 直 线mx 的 对 称 点 为),2(00/yxmP， 要 使 点),2(00/yxmP在函数)1(xfy的图象上，则)21()]2(1[000mxfxmfy，应有121m，故1m，所以函数)1( xfy与)1(xfy的图象关于直线1x对称。解法二（图象变换法）：由函数)(xfy 的图象向右平移 1 个单位得到函数)1( xfy的图象；由函数)(xfy 的图象关于 y 轴对称得到函数)( xfy的图象，再向右平移 1 个单位，用心 爱心 专心得到)1()]1([xfxfy的图象。如图所示，选 D。解法三（特值代入法）：由已知可得点))1(,0(fP在函数)1( xfy的图象上，点))1(,2(fQ在函数)1(xfy的图象上，又点 P、Q 关于直线1x对称，选 D。...