专题10平面向量的数量积及其应用【自主热身,归纳总结】1、已知向量a,b满足a＝(4,－3),|b|＝1,|a－b|＝,则向量a,b的夹角为________．【答案】【解析】：设向量a,b的夹角为θ,由|a－b|＝得,21＝2＝a2＋b2－2a·b＝25＋1－2×5×cosθ,即cosθ＝,所以向量a,b的夹角为.2、已知|a|＝1,|b|＝2,a＋b＝(1,),则向量a,b的夹角为________．【答案】.π3、已知平面向量a＝(2,1),a·b＝10,若|a＋b|＝5,则|b|的值是________．【答案】5【解析】：因为50＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋20＋|b|2,所以|b|＝5.4、已知平面向量a＝(4x,2x),b＝（1,）,x∈R,若a⊥b,则|a－b|＝________.【答案】.2【解析】：因为a⊥b,所以4x＋2x×＝4x＋2x－2＝0,解得2x＝－2(舍)或2x＝1,故a＝(1,1),b＝(1,－1),故a－b＝(0,2),故|a－b|＝2.5、如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA＝3,OC＝5.若AB·AD＝－7,则BC·DC的值是________．【答案】9【解析】：BC·DC＝(OC－OB)·(OC－OD)＝(OC＋OD)·(OC－OD)＝OC2－OD2,类似AB·AD＝AO2－OD2＝－7,所以BC·DC＝OC2－OD2＝OC2－AO2－7＝9.思想根源极化恒等式：a·b＝2－2.在△ABC中,若M是BC的中点,则AB·AC＝AM2－MC2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积．6、已知非零向量a,b满足|a|＝|b|＝|a＋b|,则a与2a－b夹角的余弦值为________．【答案】：解法1因为非零向量a,b满足|a|＝|b|＝|a＋b|,所以a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2,a·b＝－a2＝－b2,所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝a2,|2a－b|＝＝＝|a|,cos〈a,2a－b〉＝＝＝＝.解法2因为非零向量a,b满足|a|＝|b|＝|a＋b|,所以〈a,b〉＝,所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2a2－|a|·|b|cos＝a2,|2a－b|＝＝＝＝|a|.以下同解法1.解后反思解法2充分挖掘题目条件“非零向量a,b满足|a|＝|b|＝|a＋b|”,可构造一个内角为的菱形,向量a,b为此菱形的一组邻边,且其夹角为.类似地,若将条件变为“|a|＝|b|＝|a－b|”,同样可构造一个内角为的菱形,向量a,b为此菱形的一组邻边,但其夹角应为.7、在△ABC中,已知AB＝1,AC＝2,∠A＝60°,若点P满足AP＝AB＋λAC,且BP·CP＝1,则实数λ的值为________．【答案】：1或－解法1由题意可得AP－AB＝BP＝λAC.又CP＝AP－AC＝AB＋(λ－1)AC,所以BP·CP＝λAB·AC＋λ(λ－1)|AC|2＝1,即λ＋(λ2－λ)×4＝1,所以有4λ2－3λ－1＝0,解得λ＝1或λ＝－.解法2建立如图所示的平面直角坐标系,所以A(0,0),B,C(2,0),设P(x,y)．所以AP＝(x,y),AB＝,AC＝(2,0)．又因为AP＝AB＋λAC,所以有所以BP＝(2λ,0),CP＝.由BP·CP＝1可得4λ2－3λ－1＝0,解得λ＝1或λ＝－.解后反思用基向量表示其他向量的能力是平面向量考查的重点,如何基底化需要积累经验,如果不能基底化,也可以恰当建系,正确给出每个点的坐标,用坐标运算8、如图,在△ABC中,已知边BC的四等分点依次为D,E,F.若AB·AC＝2,AD·AF＝5,则AE的长为________．【答案】解决平面向量问题有三种常见方法：基底法、坐标法和几何法,由于本题求线段AE长,且点B,C,D,E,F共线,故可以用向量AE,ED作为基底．解法3(基底法)因为E在中线AD上,所以可设AE＝λ(AB＋AC),则EB＝(1－λ)AB－λAC,同理EC＝(1－λ)AC－λAB,所以EB·EC＝－3[(1－λ)2＋λ2]－13λ(1－λ)＝－3－7λ(1－λ)．由AD·EC＝0,得(AB＋AC)·[(1－λ)AC－λAB]＝0,可解得λ＝.从而EB·EC＝－3－＝－.对于平面向量数量积的计算主要有两种思路：(1)坐标法：通过建立平面直角坐标系,写出各点的坐标,通过坐标运算求解；(2)基底法：根据题目条件,选择合适的目标向量,再将求解的向量向目标向量转化并求解．本题用坐标法求解,较为简单,请考生尝试用基底法求解.【关联2】、如图,扇形的圆心角为90°,半径为1,点是圆弧上的动点,作点关于弦的对称点,则的取值范围为▲．【答案】解法1（坐标法）以为轴,为轴,建立平面直角坐标系,则,,则直线,由于点在单位圆在第一象限的圆弧上,可设,,设点关于直线的对称点,则,可得,即所以令,则且故,所以的取值范围为．解法2（极化恒等式）设的中点为,则,根据图形可得,当点与（或）重合时,点与重合,且,,则,当点位于弧的中点时,,,则,所以的取值范围为．解法3（特殊位置法）注意到本题图形的对称性,易得的最...
