（初升高）高一数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题一、学习目标：1.会求自变量在某个范围内取值时二次函数的最值。2.了解二次函数最值问题在实际生活中的简单应用，能建立二次函数模型，从而解决实际问题。二、学习重点：会求二次函数在给定区间上的最值问题三、新课讲解：［旧知复习］对于二次函数当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．［新知探秘］二次函数的图象和性质二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）具有下列性质：（1）当a＞0时，函数图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当时，函数取最小值y=．（2）当a＜0时，函数图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x=时，函数取最大值y=．【典型例题】例1.求二次函数y=－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小），并画出该函数的图象。思路导航：借助二次函数的图象，能够很好地得出函数的性质解： y=－3x2－6x＋1=－3（x＋1）2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x=－1；顶点坐标为（－1，4）；当x=－1时，函数y取最大值y=4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小。点津：函数的图象，能够直观地刻画出变量间的对应关系，使得函数的有关性质明显地从图形上反映出来，因此，很多问题的解决，如果能借助于函数的图象，往往起到事半功倍的效果。【直击高中】（一）求一元二次函数的最值例2.求一元二次函数的最值思路导航：在求一元二次函数的最值时，如果函数的表达式不宜配方，我们可以先判断函数图象的开口方向，再把二次函数顶点的横坐标值代入表达式，得到相应的最值解：因为函数的图象开口向下，所以函数有最大值，无最小值又该函数顶点的横坐标为，代入表达式，得函数的最大值为点津：二次函数求最值，除配方法、顶点法外，还可直接用公式法，即先判断二次项系数的正负，再把对应的系数代入求出最值。例3.当时，求函数的最大值和最小值．思路导航：作出函数在所给范围及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值．解：作出函数的图象．当时，，当时，．仿练：当时，求函数的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当时，，当时，．点津：由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围内的图象形状各异．下面给出一些常见情况：为方便叙述，用符号[m，n]表示的实数x的取值范围，通常称为区间例4.当时，求函数的取值范围．思路导航：画出的图象，通过观察图象得出结果解：作出函数在内的图象．可以看出：当时，，无最大值．思考：你能不通过作图，仅利用二次函数的开口方向及顶点横坐标是否在已知范围内，来直接求最值吗？（二）一元二次函数最值的应用例5.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；（2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？思路导航：在实际问题中努力寻找数量关系，建立相应的数学表达式，这个过程就是数学建模的过程。解：（1）由已知得每件商品的销售利润为元，那么件的销售利润为，又．（2）由（1）知对称轴为，位于的范围内，且抛物线开口向下当时，当每件商品的售价定为42元时商场每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．点津：解决实际问题时，要从数学的角度理解分析问题、把握问题，特别要培养自己的阅读理解、分析和解决问题的能力。【拓展篇】二次函数是最简单的非线性函数之一，其自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的延续和...
