基本流动方程VIP专享VIP免费

第1页共17页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共17页基本流动方程本项目研究需要计算进气道内外流耦合的复杂三维粘性流动，采用的流场控制方程为三维的Navier-Stokes方程组，它是连续方程、动量方程、能量方程的联立方程组。本章给出了积分形式和微分形式的N-S方程组，以及在有限体积法离散中需使用的坐标转换后N-S方程组，另外还给出了湍流计算使用的平均化后的湍流N-S方程。1积分形式N-S方程组在直角坐标系下，忽略重力做功和辐射传热的积分形式N-S方程组可写为如下的矢量形式：质量守恒方程∭ν∂ρ∂tdν+∬sρv⋅nds=0（2-1）动量守恒方程∭ν∂(ρv)∂tdν+∬spv(v⋅n)ds+∬spnds−∬sn⋅^τds=0（2-2）能量守恒方程∭ν∂(ρE)∂tdν+∬sρE(v⋅n)ds+∬sp(v⋅n)ds−∬sv(n⋅^τ)ds+∬sn⋅qds=0（2-3）这是一个关于时间的双曲型方程组，其中E代表总比能（内能和动能之和）；q为能量流矢量（energyfluxvector），这里假定能量流矢量仅仅表达分子能量的运输，它可以用Fourier定律来描述，即q=−K⋅grad{¯T¿（2-4）K为热传导系数，根据Prandtl数：Pr=Cp⋅μK为常数，及Sutherland公式：第2页共17页第1页共17页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共17页来确定，其中和是与流体有关的常数，详见表2-1。对于理想气体，总比能可表述为下述张量缩并的形式：E=e+uiui2=pρ(γ−1)+uiui2并且总焓为：H=E+pρ这里ｅ代表内能，Ｈ为总焓，γ为比热比。方程（2-2）中τ是粘性应力张量（viscousstresstensor），对于牛顿流体，假定应力张量^τ随着变形率张量^S连续变化（Stokes假设）^τ=2μ^S−23μ∇⋅(V)（2-5）变形率张量^S表为^S=[∂u∂x12(∂u∂y+∂v∂x)12(∂u∂z+∂w∂x)12(∂u∂y+∂v∂x)∂v∂y12(∂v∂z+∂w∂y)12(∂u∂z+∂w∂x)12(∂v∂z+∂w∂y)∂w∂z]为粘性系数，层流的粘性系数与压力的关系可以忽略不计，于是可采用Sutherland公式，其中和是与流体有关的常数，详见表2-1。表2-1气体的粘性系数和热传导系数气体种类（N·S/㎡）（K）（W/m·K）（K）R（J/㎏·K）空气1.458700×10-6110.5552.5010830×10-3194.4287.07氮气N21.399312×10-6106.6672.3611054×10-3166.7296.80氧气O21.751720×10-6138.8892.6954795×10-3222.2259.90第3页共17页第2页共17页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共17页2微分形式N-S方程组在直角坐标系下，忽略重力做功和辐射传热的微分形式N-S方程组可以按守恒型变量写为如下的矢量形式：（2-6）其中，u是守恒变量，f、g、h是对流通量，a、b、c粘性通量，它们的表达式为：（2-7）粘性通量中，应力和热流量的表达式为：（2-8）上述公式中，t是时间，x，y，z是空间坐标，是密度，是三个坐标方向的速度分量，E是单位质量气体的总能，p是压强，T是温度，为粘性系第4页共17页第3页共17页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共17页数，K为热传导系数。对于量热完全气体，可给出下述形式的气体状态方程：（2-9）3方程坐标变换N-S方程组可以从笛卡尔坐标系转换到任意曲线坐标系下，其中{t=t¿{ξ=ξ(x,y,z,t)¿{η=η(x,y,z,t)¿¿¿¿（2-10）这里介绍的坐标变换是由Viviand[1]和Vinokur[2]发展的，变换的选取是如此进行，以便使曲线空间网格间隔是均匀的，且为单位长度。这将导致计算域ξ、η和ζ为矩形域且为均匀的规则网格。所以在数值计算式中标准的非加权差分格式可以应用。原笛卡尔空间将被称为物理域，在物理域的点与计算域中的点将形成一一对应的关系（奇异点例外）。在奇异点区域，通常是一个物理点对应许多个计算点（这通常出现在计算边界上）。按式（2-10）进行变换，对于某变量F，有：[FxFyFz]=[ξxηxςxξyηyςyξzηzςz][FξFηFς]令上式的变换矩阵为J，则其行列式称为雅可比行列式，记作：则有1JFx=(1JFξx)ξ+(1JFηx)η+(1JFςx)ς1JFy=(1JFξy)ξ+(1JFηy)η+(1JFςy)ς1JFz=(1JFξz)ξ+(1JFηz)η+(1JFςz)ς变换后得守恒型N-S方程：∂U∂t+∂F∂ξ+∂G∂η+∂H∂ς=∂A∂ξ+∂B∂η+∂C∂...