第四节基本不等式及其应用A组基础题组1.(2017北京朝阳二模)“x>0,y>0”是“+≥2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.当x>0时,函数f(x)=有()A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值23.(-6≤a≤3)的最大值为()A.9B.C.3D.4.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=.5.已知a>0,b>0,a+2b=3,则+的最小值为.6.(2015北京石景山一模)某学校拟建一块周长为400米的操场,如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,矩形的长应该设计为米.7.(2017北京丰台一模)设a+b=M(a>0,b>0),M为常数,且ab的最大值为2,则M等于.8.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.9.某厂家拟在明年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知明年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将明年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家明年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?B组提升题组10.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.[0,2]B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]11.若直线2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则+的最小值是()A.2-B.-1C.3+2D.3-212.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0)(a>0,b>0,O为坐标原点),若A,B,C三点共线,则+的最小值是()A.4B.C.8D.913.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为.15.已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.16.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周的围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该水池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.答案精解精析A组基础题组1.A2.B x>0,∴f(x)=≤=1.当且仅当x=,即x=1时取等号.所以f(x)有最大值1.3.B因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,≤=,当且仅当a=-时等号成立.4.答案36解析 x>0,a>0,∴f(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即a=4x2时取等号,则由题意知a=4×32=36.5.答案解析由a+2b=3得a+b=1,又a>0,b>0,∴+==++≥+2=.当且仅当a=2b=时取等号.6.答案100解析设矩形的长为x米,宽为y米,则由题意得2x+πy=400,则xy=·2xπy≤=,当且仅当2x=πy=200时,等号成立,所以当矩形的面积最大时,矩形的长为100米.7.答案2解析 a+b=M(a>0,b>0),∴ab≤=. ab的最大值为2,∴=2,又M>0,∴M=2.8.解析(1)由2x+8y-xy=0,得+=1.又x>0,y>0,所以1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18.当且仅当x=12且y=6时等号成立,所以x+y的最小值为18.9.解析(1)由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k⇒k=2,∴x=3-,每件产品的销售价格为1.5×(元),∴y=1.5x·-8-16x-m=-+29(m≥0).(2) m≥0时,+m+1≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时,取等号,∴y≤-8+29=21.故该厂家明年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.B组提升题组10.D 1=2x+2y≥2=2(当且仅当2x=2y时等号成立),∴≤,∴2x+y≤,∴x+y≤-2.11.C易知圆心为(1,2),由题意知圆心(1,2)在直线2ax+by-2=0上,∴a+b=1,∴+=(a+b)=3++≥3+2.当且仅当=,即a=2-,b=-1时等号成立.12.D =-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),若A,B,C三点共线,则有∥,∴(a-1)×2-1×(-b-1)=0,∴2a+b=1,又a>0,b>0,∴+=·(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当即a=b=时等号成立.13.B 不等式x+0,y>0,且+=1,∴x+==++2≥2+2=4,当且仅当=,即x=2...
