第四节基本不等式及其应用A组基础题组1.(2017北京房山一模,6)“a>0”是“a+≥2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.当x>0时,f(x)=的最大值为()A.B.1C.2D.43.已知x,y>0且x+4y=1,则+的最小值为()A.8B.9C.10D.114.设a>0,若关于x的不等式x+≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为()A.16B.9C.4D.25.已知x,y∈R+,且满足x+2y=2xy,那么x+4y的最小值为()A.3-B.3+2C.3+D.46.已知m,4,n成等差数列,则()m·()n=;mn的最大值为.7.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=.8.已知实数x,y满足x2+y2-xy=1,则x+y的最大值为.9.(1)当x<时,求函数y=x+的最大值;(2)设00时,由基本不等式得a+≥2(当且仅当a=时取等号),故充分性成立;当a+≥2时,移项得a+-2≥0,即≥0,∴≥0,得a>0,故必要性成立.故选C.2.B∵x>0,∴f(x)==≤=1,当且仅当x=,即x=1时取等号.3.B∵x+4y=1(x,y>0),∴+=+=5+≥5+2=5+4=9当且仅当x=2y=时,取等号.4.C在(1,+∞)上,x+=(x-1)++1≥2+1=2+1(当且仅当x=1+时取等号),由题意知2+1≥5.所以2≥4,≥2,a≥4.5.B由x>0,y>0,x+2y=2xy,得+=1,则x+4y=(x+4y)·=+1+2+≥3+2=3+2,当且仅当=时等号成立.6.答案16;16解析由题意有m+n=4×2=8,则()m·()n=()m+n=()8=16,mn≤=42=16.7.答案36解析∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=时等号成立,此时a=4x2,由x=3时函数取得最小值,得a=4×9=36.故填36.8.答案2解析因为x2+y2-xy=1,所以(x+y)2=1+3xy≤1+3×,当且仅当x=y时取等号,所以(x+y)2≤4,则-2≤x+y≤2,所以x+y的最大值为2.9.解析(1)y=(2x-3)++=-+.当x<时,3-2x>0,此时+≥2=4,当且仅当=,即x=-时取等号.于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.(2)∵00,∴y==·≤·=,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,∴函数y=的最大值为.B组提升题组10.C∵2x>0,∴y=2x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立.故选C.11.D∵正数a,b满足a+b=ab,∴ab≥2(⇒)2-2≥0⇒≥2ab≥4,⇒当且仅当a=b=2时取等号,由a+b=ab,a+b+c=abc,得c===1+,∵ab≥4,∴ab-1≥3,∴0<≤,∴1<1+≤,故选D.12.答案4解析设等比数列的公比为q(q>0),则a1+2a3=+2a2q=+4q≥2=4,当且仅当=4q,即q=时等号成立.故a1+2a3的最小值是4.13.答案解析当x∈[1,2]时,f(x)=x2+=x2++≥3=3,当且仅当x2=,即x=1时取等号,所以f(x)min=3.因为g(x)=-m在[-1,1]上单调递减,所以当x∈[-1,1]时,g(x)min=g(1)=-m.因为∀x1∈[1,2],x∃2∈[-1,1],使得f(x1)≥g(x2),所以3≥-m,解得m≥-.14.解析(1)设污水处理池的宽为x米,总造价为f(x)元,则长为米,f(x)=400×+248×2x+80×162=1296x++12960=1296+12960≥1296×2+12960=38880,当且仅当x=(x>0),即x=10时取等号.∴当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元.(2)由限制条件知∴≤x≤16.设g(x)=x+,则g'(x)=1-,因为g'(x)=1-在上恒大于零,故g(x)在上是增函数,∴当x=时,g(x)取最小值,此时f(x)的最小值为1296×+12960=38882.∴当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,最低总造价为38882元.
