第74讲参数方程夯实基础【p168】【学习目标】1．了解曲线参数方程的意义，掌握直线、圆及圆锥曲线的参数方程，会应用参数方程解决有关的问题．2．掌握参数方程与普通方程的互化，会根据已知给出的参数，依据条件建立参数方程．【基础检测】1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为()A．y＝x－2B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3)D．y＝x＋2(0≤y≤1)【解析】消去参数，转化为普通方程得y＝x－2，其中x∈[2，3]，y∈[0，1]．故选C.【答案】C2．参数方程(t为参数)表示的曲线是________．【解析】由x＝t＋知x≥2或x≤－2，∴曲线方程为y＝2(x≥2或x≤－2)，表示两条射线．【答案】两条射线3．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆(θ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________．【解析】椭圆的普通方程为＋＝1，则右焦点的坐标为(1，0)．直线的普通方程为x－2y＋2＝0，过点(1，0)与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程为x－2y－1＝0.由得4x2－2x－11＝0，所以所求的弦长为×＝.【答案】4．已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值．【解析】直线l1的普通方程为y＝－x＋，斜率为－；直线l2的普通方程为y＝－2x＋1，斜率为－2. l1与l2垂直，∴×(－2)＝－1⇒k＝－1.【知识要点】1．参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，即____，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程．2．参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：__消去参数__，消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)(t为参数)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(θ为参数)椭圆＋＝1(a>b>0)(θ为参数)双曲线－＝1(θ为参数)抛物线y2＝2px(p>0)(t为参数)典例剖析【p168】考点1参数方程与普通方程的互化已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)，曲线C2的参数方程是(t为参数)．(1)将曲线C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)求曲线C1上的点到曲线C2的距离的最大值和最小值．【解析】(1)曲线C1的参数方程是(θ为参数)，则cosθ＝， sin2θ＋cos2θ＝1，可得＋y2＝1，∴曲线C1的普通方程是＋y2＝1；曲线C2的参数方程是(t为参数)，消去参数t，t＝3－x，代入y＝，即2x＋3y－10＝0，∴曲线C2的普通方程是2x＋3y－10＝0.(2)设点P(2cosθ，sinθ)为曲线C1上任意一点，则点P到直线2x＋3y－10＝0的距离为d，则d＝＝， sin(θ＋φ)∈[－1，1]，∴d∈，∴dmax＝，dmin＝.【点评】(1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法．(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，以及参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．考点2直线与圆的参数方程及应用在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ.(1)求C2与C3的交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.【点评】(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即|t|＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1...
