高考数学总复习 同步测试卷（八）平面向量、复数的概念及运算 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题VIP免费

同步测试卷理科数学(八)【p299】(平面向量、复数的概念及运算)时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数1＋(i是虚数单位)的模等于()A．4B．5C．2D．2【解析】1＋＝1＋＝1＋1＋2i＝2＋2i，则它的模等于＝2.【答案】C2．已知向量a＝，b＝，则“m＝1”是“a∥b”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当m＝1时，a＝b可以推出a∥b；当a∥b时，＝m2＝1，m＝±1，不能推出m＝1.所以，“m＝1”是“a∥b”成立的充分不必要条件．【答案】A3．在复平面上，复数z1，z2对应的点关于直线y＝x对称，且z1z2＝4i，则复数z1的模长为()A．2B.C.D．1【解析】设z1＝a＋bi，则z2＝b＋ai，由z1z2＝4i，可知a2＋b2＝4，所以＝＝2.【答案】A4．如图，已知AB＝a,AC＝b,DC＝3BD，AE＝2EC，则DE＝()A.b－aB.a－bC.a－bD.b－a【解析】由平面向量的三角形法则可知：DE＝DC＋CE＝BC＋＝(AC－AB)－AC＝－AB＋AC＝－a＋b.【答案】D5．已知不共线向量a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，则a＋b与a的夹角是()A.B.C.D.【解析】法一：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，∴a·b＝|a|2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，∴|a＋b|＝|a|.设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝.法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB. |a|＝|b|，即|OA|＝|OB|，∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时OC＝a＋b，BA＝a－b.而|a|＝|b|＝|a－b|，即|OA|＝|OB|＝|BA|.∴△AOB为正三角形，则∠AOB＝60°，于是∠AOC＝30°，即a与a＋b的夹角为.【答案】B6．△ABC是底边边长为2的等腰直角三角形，P是以直角顶点C为圆心，半径为1的圆上任意一点，若m≤AP·BP≤n，则n－m的最小值为()A．4B．2C．2D．4【解析】如图所示，建立直角坐标系，则：A(－，0)，B(，0)，P(cosθ，＋sinθ)，由平面向量的性质可得：AP＝(cosθ＋，sinθ＋)，BP＝(cosθ－，sinθ＋)，由平面向量的数量积：AP·BP＝cos2θ－2＋sin2θ＋2sinθ＋2＝1＋2sinθ，据此有：mmax＝1－2，nmin＝1＋2，(n－m)min＝4.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．已知复数z满足z＝－3＋4i，则z的共轭复数是________．【解析】因为z＝＝＝＝－2＋i，所以z的共轭复数是－2－i.【答案】－2－i8．设x，y∈R，向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，c＝(2，－6)，且a⊥c，b∥c，则＝__________．【解析】a⊥c2x－12＝0x＝6a＝(6，2)，b∥c－6－2y＝0y＝－3b＝(1，－3)＝a2＋2a·b＋b2＝40＋10＝50＝5.【答案】59．若向量OA＝(1，－3)，|OA|＝|OB|，OA·OB＝0，则|AB|＝________．【解析】法一：设OB＝(x，y)，由|OA|＝|OB|知，＝，又OA·OB＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，|AB|＝2；当x＝－3，y＝－1时，|AB|＝2.则|AB|＝2.法二：由几何意义知，|AB|就是以OA，OB为邻边的正方形的对角线长，所以|AB|＝2.【答案】210．已知△ABC，其中顶点坐标分别为A，B，C，点D为边BC的中点，则向量AD在向量AB方向上的投影为__________．【解析】因为AB＝，AC＝(－1，－2)，AD＝＝，故AB·AD＝2×－＝，由于＝，所以向量AD在向量AB方向上的投影为＝×＝.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)已知平面上三点A，B，C，BC＝(2－k，3)，AC＝(2，4)．(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC中角A为直角，求k的值．【解析】(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量BC与AC平行，∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝.(2) BC＝(2－k，3)，∴CB＝(k－2，－3)，∴AB＝AC＋CB＝(k，1)．当A是直角时，AB⊥AC，即AB·AC＝0，∴2k＋4＝0，解得k＝－2.12．(16分)在△ABC中，AM＝AB＋AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比；(2)若N为AB中点，AM与CN交于点P，且AP＝xAB＋yAC(x，y∈R)，求x＋y的...