课时作业6函数的奇偶性与周期性一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是(B)A．f(x)＝B．f(x)＝C．f(x)＝2x＋2－xD．f(x)＝－cosx解析：函数f(x)＝是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)等于(A)A．－3B．－C.D．3解析：由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(D)①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A．①③B．②③C．①④D．②④解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，①f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；②f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；④f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知②④符合题意，故选D.4．函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f的值为(A)A.B.C．－D．－解析： f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2.∴f＝f＝f＝2××＝.5．已知f(x)＝2x＋为奇函数，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则f(ab)＝(D)A.B.C．－D．－解析：根据题意，f(x)＝2x＋为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，即＋＝0，解得a＝－1.g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则g(x)＝g(－x)，即bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)，解得b＝1，则ab＝－1，所以f(ab)＝f(－1)＝2－1－＝－.6．已知函数f(x)＝asinx＋bln＋t，若f＋f＝6，则实数t＝(D)A．－2B．－1C．1D．3解析：令g(x)＝asinx＋bln，易知g(x)为奇函数，所以g＋g＝0，则由f(x)＝g(x)＋t，得f＋f＝g＋g＋2t＝2t＝6，解得t＝3.故选D.7．已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，则f＝(D)A.＋1B.－1C．－－1D．－＋1解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，f＝－＋1.8．(多选题)已知定义域为I的偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且∃x0∈I，f(x0)<0，则下列函数中不符合上述条件的是(ABD)A．f(x)＝x2＋|x|B．f(x)＝2x－2－xC．f(x)＝log2|x|D．f(x)＝x解析：∀x∈R，f(x)＝x2＋|x|≥0，故A不符合条件；函数f(x)＝2x－2－x是定义在R上的奇函数，故B不符合条件；函数f(x)＝log2|x|是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且在(0，＋∞)上，f(x)＝log2x单调递增，∃x0＝，f＝－1<0，故C符合条件；幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，故D不符合条件．综上，故选ABD.二、填空题9．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为9.解析：由于f(x)在[3,6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.10．(多填题)已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lnx，则f＝－2，f的值为－ln2.解析：由已知可得f＝ln＝－2，所以f＝f(－2)．又因为f(x)是奇函数，所以f＝f(－2)＝－f(2)＝－ln2.11．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝－.解析：函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln(1＋e3x)－lne3x－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，即－3x－ax＝ax，所以2ax＋3x＝0恒成立，所以a＝－.12．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝－1.解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋0＋f＋f(0)＋f＝f－f＋f(0)＋f＝f＋f(0)＝2－1＋20－1＝－1.三、解答题13．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所...
