6.3等比数列挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.等比数列的有关概念及运算1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式3.了解等比数列与指数函数的关系4.掌握等比数列的前n项和公式2018天津文,18等比数列的通项公式数列求和的基本方法★★★2.等比数列的性质及应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2016天津,5等比数列性质的应用充分必要条件的判断★★★分析解读天津高考对等比数列的考查主要是基本量的运算、an和Sn的关系以及等比数列的性质.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识(函数、不等式)相结合的考查,多以解答题的形式出现.解决问题时要注意下标之间的关系,并选择适当的公式.破考点【考点集训】考点一等比数列的有关概念及运算1.已知等比数列{an}中,a1=1,且a4+a5+a8a1+a2+a5=8,那么S5的值是()A.15B.31C.63D.64答案B2.已知等比数列{an}中,a2=2,a3·a4=32,那么a8的值为.答案1283.(2014安徽,12,5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.答案14.(2011北京文,12,5分)在等比数列{an}中,若a1=12,a4=4,则公比q=;a1+a2+…+an=.答案2;2n-1-12考点二等比数列的性质及应用5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论一定成立的是()A.若a5>0,则a2017<0B.若a6>0,则a2018<0C.若a5>0,则S2017>0D.若a6>0,则S2018>0答案C6.已知等比数列{an}的公比q>0,其前n项和为Sn,若a1=1,4a3=a2a4.(1)求公比q和a5的值;(2)求证:Snan<2.解析(1)因为{an}为等比数列,且4a3=a2a4,所以4a3=a32,又由题意知an≠0,所以a3=4,所以q2=a3a1=4,所以q=±2,又因为q>0,所以q=2.所以a5=a1q4=16.(2)证法一:因为a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,n∈N*,Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1,所以Snan=2n-12n-1=2-12n-1,因为12n-1>0,所以Snan=2-12n-1<2.证法二:因为a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1,所以Snan-2=-12n-1<0,所以Snan<2.炼技法【方法集训】方法1等比数列的基本运算技巧1.(2015课标Ⅱ,4,5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84答案B2.(2015课标Ⅱ文,9,5分)已知等比数列{an}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.12D.18答案C方法2等比数列的判定3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*).(1)证明:数列{an}是等比数列;(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.解析(1)证明:由Sn=4an-3可知,当n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(4an-3)-(4an-1-3)=4an-4an-1,即an=43an-1,∴{an}是首项为1,公比为43的等比数列.(2)由(1)可知an=(43)n-1,由bn+1=an+bn(n∈N*)得bn+1-bn=an=(43)n-1.所以当n≥2时,bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=2+(43)0+(43)1+…+(43)n-2=2+1-(43)n-11-43=3×(43)n-1-1.当n=1时上式也满足条件,故数列{bn}的通项公式为bn=3×(43)n-1-1,n∈N*.思路分析(2)根据(1)求数列{an}的递推公式,代入bn+1=an+bn(n∈N*),可得数列{bn}的递推公式,再用迭代法即可求出{bn}的通项公式.4.(2016课标Ⅲ,17,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,求λ.解析(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=11-λ,a1≠0.由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以an+1an=λλ-1.因此{an}是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是an=11-λ·(λλ-1)n-1.(2)由(1)得Sn=1-(λλ-1)n.由S5=3132得1-(λλ-1)5=3132,即(λλ-1)5=132.解得λ=-1.思路分析(1)先由题设利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1与an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看an+1与an之比是不是一常数,其中说明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组考点一等比数列的有关概念及运算(2018天津文,18,13分)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求Sn和Tn;(2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整...
