基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是an等于()A.B.cosC.cosπD.cosπ解析令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确.答案D2.设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A.B.C.4D.0解析 an＝－3＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.答案D3.(2016·黄冈模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为()A.an＝2n－3B.an＝2n＋3C.an＝D.an＝解析当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于a1的值不适合上式，故选C.答案C4.数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝()A.7B.6C.5D.4解析依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.答案D5.(2015·石家庄二模)在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2015＝()A.8B.6C.4D.2解析由题意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2015＝a335×6＋5＝a5＝2.答案D二、填空题6.在数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.解析由题意知a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，∴an＝(n≥2)，∴a3＋a5＝＋＝.答案7.(2016·潍坊一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.解析当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴＝－.∴数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，故an＝.答案8.(2015·太原二模)已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝________.解析由已知得－＝n，∴－＝n－1，－＝n－2，…，－＝1，∴－＝，∴＝，∴an＝.答案三、解答题9.根据下列条件，确定数列{an}的通项公式.(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an；(3)a1＝2，an＋1＝an＋ln.解(1) an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.(2) an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1.∴＝n，＝n－1，……＝3，＝2，a1＝1.累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！.故an＝n！.(3) an＋1＝an＋ln，∴an＋1－an＝ln＝ln.∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，……a2－a1＝ln，∴an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝lnn.又a1＝2，∴an＝lnn＋2.10.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a∈R且a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围.解(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，当n≥2时，an＋1≥an⇔12·＋a－3≥0⇔a≥－9.又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是()A.a2014＝－1，S2014＝2B.a2014＝－3，S2014＝5C.a2014＝－3，S2014＝2D.a2014＝－1，S2014＝5解析由an＋1＝an－an－1(n≥2)，知an＋2＝an＋1－an，则an＋2＝－an－1(n≥2)，an＋3＝－an，…，an＋6＝an，又a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，所以当k∈N时，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＋ak＋5＋ak＋6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以a2014＝a4＝－1，S2014＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.答案D12.(2016·贵阳监测)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2015项的乘积a1·a2·a3·…·a2015＝________.解析由题意可得，a2＝＝－3，a3＝...
