第九章第3课时二项式定理课时闯关（含解析）一、选择题1．已知7展开式的第4项等于5，则x等于()A.B．－C．7D．－7解析：选B.由T4＝Cx43＝5，得x＝－，故选B.2．若n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为()A.B.C．－D.解析：选B.由题意知C＝＝15，所以n＝6，故n＝6，令x＝1得所有项系数之和为6＝，故选B.3．若n展开式中第2项与第6项的系数相同，那么展开式的最中间一项的系数为()A．6B．20C．25D．30解析：选B.由已知得C＝C，∴C＝C，∴n－1＝5，即n＝6，故展开式的最中间一项的系数为C＝20.4．(2012·石家庄调研)在24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有()A．3项B．4项C．5项D．6项解析：选C.Tr＋1＝C()24－rr＝Cx12－，故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．5．(2012·贵阳质检)在二项式(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含x4项的系数是()A．－25B．－5C．5D．25解析：选B.∵(x2＋x＋1)(x－1)＝x3－1，∴原式可化为(x3－1)(x－1)4.故展开式中，含x4项的系数为C(－1)3－C＝－4－1＝－5.二、填空题6．(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)6的展开式中，含x2项的系数为________．解析：含x2项的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝35.答案：357．9192除以100的余数是________．解析：9192＝(90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C＝M×102＋92×90＋1(M为整数)＝100M＋82×100＋81.∴9192除以100的余数是81.答案：818．若n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为________．解析：由题意得C、C、C成等差数列，所以C＋C＝C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍)．Tr＋1＝Cx8－rr＝rCx8－2r.令8－2r＝4，可得r＝2，所以x4项的系数为2C＝7.答案：7三、解答题9．已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．解：由5，得Tr＋1＝C5－rr＝5－r·C·x.令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，∴r＝4，∴常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n.由题意得2n＝16，∴n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，∴Ca4＝54，∴a＝±.10．已知n展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.(1)求含有x3的项；(2)求二项式系数最大的项．解：(1)由已知得C＝45，即C＝45，∴n2－n－90＝0，解得n＝－9(舍)或n＝10，∴通项公式为Tr＋1＝C(4·x－)10－r(x)r＝C·410－r·x－＋r.令－＋r＝3，得r＝6，∴含有x3的项是T7＝C·44·x3＝53760x3.(2)∵此展开式共有11项，∴二项式系数最大项是第6项，∴T6＝C(4x－)5(x)5＝258048x.11．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．解：(1)由已知C＋2C＝11，∴m＋2n＝11，x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)＝2＋.∵m∈N*，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
