每日一题规范练(第二周)[题目1](本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．解：(1)f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以函数f(x)的最小正周期为π.又x∈，所以2x＋∈，所以sin∈，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.(2)因为f(x0)＝2sin＝，所以sin＝，又x0∈，知2x0＋∈.所以cos＝－＝－，所以cos2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.[题目2](本小题满分12分)已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn数列{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.解：(1)因为数列{an}是等差数列，a2＝6，所以S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，所以b1＝1，因为b2＝2，数列{bn}是等比数列，所以bn＝2n－1，则b3＝4.由a1b3＝12，得a1＝3，则等差数列{an}的公差为d＝a2－a1＝3.所以an＝3＋3(n－1)＝3n(n∈N*)．(2)设Cn＝bncos(anπ)，由(1)得Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，则Cn＋1＝(－1)n＋12n，所以＝－2，又C1＝－1，所以数列{bncos(anπ)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列．所以Tn＝＝[(－2)n－1]．[题目3](本小题满分12分)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100(1)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由．(2)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2＝，且n＝a＋b＋c＋d.解：(1)K2＝≈8.25＞6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(2)由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a，b，c，d；女生2名，分别记为m，n.则抽取的结果共有15种：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)．则P(A)＝.所以选出的2人中恰有1名女大学生的概率为.[题目4](本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体DABC中：(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体FBCE的体积．(1)证明：因为AC＝＝2，∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，所以在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2×AC×AB×cos45°＝8，又AB2＝AC2＋BC2＝16，所以AC⊥BC，因为平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，所以BC⊥平面ACD.(2)解：因为AD∥平面BEF，AD⊂平面ACD，平面ACD∩平面BEF＝EF，所以AD∥EF，因为E为AC的中点，所以EF为△ACD的中位线，由(1)知，VFBCE＝VBCEF＝×S△CEF×BC，S△CEF＝S△ACD＝××2×2＝，所以VFBCE＝××2＝.[题目5](本小题满分12分)已知a为实数，函数f(x)＝alnx＋x2－4x.(1)若x＝3是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；(2)设g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈，使得f(x0)≤g(x0)成立，求实数a的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2x－4＝.因为x＝3是函数f(x)的一个极值点，所以f′(3)＝0，解得a＝－6.经检验，当a＝－6时，x＝3是函数f(x)的一个极小值点，符合题意，故实数a的值为－6.(2)由f(x0)≤g(x0)，得(x0－lnx0)a≥x－2x0，记F(x)＝x－lnx(x＞0)，则F′(x)＝(x＞0)，所以当0＜x＜1时，F′(x)＜0，F(x)单调递减；当x＞1时，F′(x)＞0，F(x)单调递增．所以F(x)＞F(1)＝1＞0，所以a≥.记G(x)＝，x∈，则G′(x)＝＝.因为x∈，所以2－2lnx＝2(1－lnx)≥0，所以x－2lnx＋2＞0，所以当x∈时，G′(x)＜0，G(x)单调递减；当x∈(1，e]时，G′(x)＞0，G(x)单调递增．所以G(x)min＝G(1)＝－1，所以a≥G(x)min＝－1...
