每日一题规范练(第六周)[题目1](本小题满分12分)在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3.(1)求BD的长；(2)求△ABC的面积．解：(1)因为AD⊥AC，所以∠DAC＝，因为sin∠BAC＝，所以sin＝，所以cos∠BAD＝，由余弦定理得，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝(3)2＋32－2×3×3×＝3.所以BD＝.(2)在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB＝＝＝－，所以cos∠ADC＝，所以在Rt△DAC中，cos∠ADC＝＝，所以DC＝3，所以AC＝＝＝3，所以S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×3×3×＝6.[题目2](本小题满分12分)数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.(1)证明数列{an＋4}是等比数列；(2)求数列{|an|}的前n项和Sn.(1)证明：因为a1＝－2，所以a1＋4＝2.又an＋1＝2an＋4，所以an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)≠0，则＝2，故{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解：由(1)，可知an＋4＝2n，所以an＝2n－4.当n＝1时，a1＝－2＜0，所以S1＝|a1|＝2；当n≥2时，an≥0，所以Sn＝－a1＋a2＋…＋an＝2＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝2＋22＋23＋…＋2n－4(n－1)＝－4(n－1)＝2n＋1－4n＋2.又当n＝1时，也满足上式．所以当n∈N*时，Sn＝2n＋1－4n＋2.[题目3](本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC，AA1＝DA1，∠ABC＝120°.(1)证明：AD⊥BA1；(2)若AD＝DA1＝4，BA1＝2，求多面体BCDA1B1C1D1的体积．(1)证明：取AD的中点O，连接OB，OA1，因为AA1＝DA1，所以AD⊥OA1.因为在▱ABCD中，∠ABC＝120°，所以∠BAD＝60°，又因为AB＝BC，则AB＝AD，所以△ABD是正三角形，所以AD⊥OB，因为OA1⊂平面OBA1，OB⊂平面OBA1，OA1∩OB＝O，所以AD⊥平面OBA1，所以AD⊥A1B.(2)由题设知，△A1AD与△BAD都是边长为4的正三角形，所以A1O＝OB＝2，因为A1B＝2，所以A1O2＋OB2＝A1B2，所以A1O⊥OB，因为A1O⊥AD，所以A1O⊥平面ABCD，所以A1O是平行六面体ABCDA1B1C1D1的高，又S▱ABCD＝AD·OB＝4×2＝8，设V＝VABCDA1B1C1D1＝S▱ABCD·A1O＝8×2＝48，令V1＝VA1ABD＝S△ABD·A1O＝××2×4×2＝8，所以VBCDA1B1C1D1＝V－V1＝40，即几何体BCDA1B1C1D1的体积为40.[题目4](本小题满分12分)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：学习积极性积极参加班级工作不太主动参加班级工作总计学习积极性高18725学习积极性一般61925总计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关，并说明理由．解：(1)积极参加班级工作的学生有24名，总人数为50名，概率为＝.不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19名，概率为.(2)由K2公式得K2＝≈11.5.因为K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．[题目5](本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点A(1，0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0，1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．解：(1)由题意，知c＝，a＝2b，①又a2＝b2＋c2，得a2＝b2＋3，②联立①②得a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意．当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝，y1y2＝.因为点B在以MN为直径的圆上，所以BM·BN＝0.BM·BN＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0，即(m2＋1)＋(m－1)＋2＝0，整理，得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝.所以直线l的方程为x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0.[题目6](本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋－x(a＞0)．(1)若a＝，求f(x)的极值点；(2)若曲线y＝f(x)上总存在不同的两点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，使得曲线y＝f(x)在P，Q两点处的切线平行，求证：x1＋x2＞2.(1)解：函数f(x)的定义域为(0，＋...
