高考数学二轮复习 每日一题 规范练（第三周）文-人教版高三数学试题VIP免费

每日一题规范练(第三周)[题目1](本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝2log3an－1，求数列{(－1)nan＋bn}的前n项和Tn.解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝3n.当n＝1时，a1＝S1＝3满足上式，故an＝3n.(2)由题意得bn＝2log33n－1＝2n－1，则(－1)nan＋bn＝(－3)n＋2n－1，所以Tn＝－3＋(－3)2＋…＋(－3)n＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝＋＝＋n2.[题目2](本小题满分12分)如图，△ABC为正三角形，AC∥DB，AC＝2，cos∠ACD＝.(1)求CD的长；(2)求△ABD的面积．解：(1)因为△ABC为正三角形，AC∥DB，所以∠ACD＝∠BDC，∠BAC＝∠ABD＝，所以cos∠ACD＝cos∠BDC＝，所以sin∠BDC＝＝.在△BCD中，BC＝2，∠CBD＝，sin∠BDC＝，由正弦定理得，＝，所以CD＝3.(2)在△BCD中，BC＝2，CD＝3，∠CBD＝，由余弦定理，CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠CBD，则32＝22＋BD2－4BD×，解得BD＝－1.所以△ABD的面积为S＝BD·AB·sin＝×(－1)×2×＝.[题目3](本小题满分12分)在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为3，点E、F分别为CC1，BB1上的点，且EC＝3FB＝3，点M是线段AC上的动点．(1)试确定点M的位置，使BM∥平面AEF，并说明理由；(2)若M为满足(1)中条件的点，求三棱锥MAEF的体积．解：(1)当点M是线段AC靠近点A的三等分点时，BM∥平面AEF.事实上，在AE上取点N，使AN＝AE，于是＝＝，所以MN∥EC且MN＝EC.由题设，BF∥EC，且BF＝EC，所以MN∥BF，且MN＝BF，故四边形BMNF为平行四边形，则BM∥FN.又FN⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，故BM∥平面AEF.(2)连接EM，FM，因三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，所以BB1∥平面ACC1A1，V三棱锥MAEF＝V三棱锥FAEM＝V三棱锥BAEM.取AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC.因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC.又BO⊂平面ABC，所以AA1⊥BO.因为BO⊥AC，BO⊥AA1，AC∩AA1＝A，所以BO⊥平面ACC1A1，则BO为三棱锥BAEM的高．又在正△ABC中，BO＝.故V三棱锥MAEF＝V三棱锥BAEM＝·S△AEM·BO＝.[题目4](本小题满分12分)为了迎接“十九大”的胜利召开，某市中小学校准备举行一场《喜迎十九大，共筑中国梦》的歌唱比赛，某班为了选出一人参加比赛，挑选班上甲、乙两位同学进行了8次预赛，且每次预赛之间是相互独立．他们成绩的茎叶图如下：(单位：分)(1)设甲、乙两位同学成绩的方差分别为S、S，求S、S的值，并从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加比赛更合适，请说明理由？(2)从甲乙两位同学预赛成绩大于等于85分的成绩中，随机抽取2个，求这2个预赛成绩分别来自不同同学的概率．解：x甲＝＝82，x乙＝＝82，S＝＝39.5，S＝＝43，因此x甲＝x乙，S＜S.所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．(2)由茎叶图知甲同学有2次预赛成绩大于或等于85，分别记为a，b，乙同学有3次预赛成绩大于或等于85，分别记为c，d，e.则从这5次成绩中抽取2个，所有可能的情况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种情况．其中来自不同同学的情况为(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)共6种情况．所以抽取的2个预赛成绩分别来自不同同学的概率为P＝＝.[题目5](本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2x－1)ex－a(x2＋x)，a∈R.(1)当a＜e－时，讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝－ax2－a，若对任意的x≤1时，恒有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(2x＋1)ex－a(2x＋1)＝(2x＋1)(ex－a)．若a≤0时，ex－a＞0，当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.所以f(x)在上是减函数，在上是增函数．若0＜a＜e－时，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝lna＜－，所以当x∈(－∞，lna)∪(－，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.故f(x)在区间(－∞，lna)和上单调递增；在上单调递减．(2)依题意，对任意x≤1，恒有(2x－1)ex－a(x－1)≥0.(*)①当x＝1时，(*)式恒成立，a∈R.②当x＜1时，不等式转化为a≥，令φ(x)＝(x＜1)，则φ′(x)＝.当x∈(－∞，0)时，φ′(x)＞0；当x∈(0，1)时，φ′(x)＜0.所以当x＝0时，φ(x)取极大值φ(0)＝1，此时a≥1.综合①②知，实数a的取值范围为[1，＋∞)．[题目6](本小...