高考数学二轮复习 每日一题规范练（第六周）理-人教版高三数学试题VIP免费

每日一题规范练(第六周)[题目1](本小题满分12分)在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3.(1)求BD的长；(2)求△ABC的面积．解：(1)因为AD⊥AC，所以∠DAC＝，因为sin∠BAC＝，所以sin＝，所以cos∠BAD＝，由余弦定理得，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝(3)2＋32－2×3×3×＝3.所以BD＝.(2)在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB＝＝＝－，所以cos∠ADC＝，所以在Rt△DAC中，cos∠ADC＝＝，所以DC＝3，所以AC＝＝＝3，所以S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×3×3×＝6.[题目2](本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn为数列的前n项和，若λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．解：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由已知得，解得所以an＝n＋1.(2)由(1)知＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝－＝.又λTn≤an＋1恒成立，所以λ≤＝2＋8，而2＋8≥16，当且仅当n＝2时，等号成立．所以λ≤16，即实数λ的最大值为16.[题目3](本小题满分12分)如图1，在边长为5的菱形ABCD中，AC＝6，现沿对角线AC把△ADC翻折到△APC的位置得到四面体PABC，如图2所示．已知PB＝4.图1图2(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)若Q是线段AP上的点，且AQ＝AP，求二面角QBCA的余弦值．(1)证明：取AC的中点O，连接PO，BO得到△PBO.因为四边形ABCD是菱形，所以PA＝PC，PO⊥AC.因为DC＝5，AC＝6，所以OC＝3，PO＝OB＝4，因为PB＝4，所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.因为OB∩AC＝O，所以PO⊥平面ABC.因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.(2)解：因为AB＝BC，所以BO⊥AC.易知OB，OC，OP两两垂直．以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则B(4，0，0)，C(0，3，0)，P(0，0，4)，A(0，－3，0)．设点Q(x，y，z)，由AQ＝AP，得Q.所以BC＝(－4，3，0)，BQ＝(－4，－2，)．设n1＝(x1，y1，z1)为平面BCQ的一个法向量，由得解得取z1＝15，则n1＝(3，4，15)．取平面ABC的一个法向量为n2＝(0，0，1)．因为cos〈n1，n2〉＝＝＝，所以二面角QBCA的余弦值为.[题目4](本小题满分12分)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：学习积极性积极参加不太主动参总计班级工作加班级工作学习积极性高18725学习积极性一般61925总计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关，并说明理由．解：(1)积极参加班级工作的学生有24名，总人数为50名，概率为＝.不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19名，概率为.(2)由K2公式得K2＝≈11.5.因为K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．[题目5](本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0，1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．(1)解：由题意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，联立解得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立消去y可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.因为点B在以线段MN为直径的圆上，所以BM·BN＝0.BM·BN＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，即(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，整理，得5m2－2m－3＝0，解得m＝－或m＝1(舍去)．所以直线l的方程为y＝kx－.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．故直线l过定点，且该定点的坐标为.[题目6](本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－1)ex－mx2＋2，其中m∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)当m＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当常数m∈(2，＋∞)时，...