高考数学二轮复习 每日一题规范练（第一周）理-人教版高三数学试题VIP免费

每日一题规范练(第一周)[题目1](本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差d＞0，其前n项和为Sn，且a2＋a4＝8，a3，a5，a8成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)因为a2＋a4＝8，及等差数列性质，所以a3＝4，即a1＋2d＝4.①因为a3，a5，a8为等比数列，则a＝a3a8.所以(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，化简得a1＝2d.②联立①和②得a1＝2，d＝1.所以an＝n＋1.(2)因为bn＝＋n＝＋n＝(－)＋n.所以Tn＝＋[(－)＋2]＋[＋3]＋…＋＝[(－)＋＋(－)＋…＋(－)]＋(1＋2＋3＋…＋n)＝(－)＋＝＋.[题目2](本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsinC＝asinA，求△ABC的面积．解：(1)f(x)＝cos2x－sinxcosx－＝－sin2x－＝－sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.(2)由(1)知f(x)＝－sin，所以f(A)＝－sin＝－1，因为△ABC为锐角三角形，所以0＜A＜，所以－＜2A－＜，所以2A－＝，即A＝.又bsinC＝asinA，所以bc＝a2＝4，所以S△ABC＝bcsinA＝.[题目3](本小题满分12分)某校高三200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N(70，7.52)．数学成绩的频率分布直方图如下：(1)计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)；(2)如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？(3)如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从(2)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．(附参考公式)若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.96.解：(1)数学成绩的平均分为[0.012×45＋0.02×55＋0.025×65＋0.035×75＋0.006×85＋0.002×95]×10＝65.9.根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些．(2)语文成绩优秀的概率为p1＝P(X≥85)＝(1－0.96)×＝0.02，数学成绩优秀的概率为p2＝(0.006×＋0.002)×10＝0.05，语文成绩优秀人数为200×0.02＝4人，数学成绩优秀人数为200×0.05＝10人．(3)语文和数学两科都优秀的共有4人，则单科优秀的有6人，X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.X的分布列为X0123P数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.[题目4](本小题满分12分)在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.(1)求证：A1C1⊥B1C；(2)求二面角B1A1CC1的正弦值．(1)证明：如图1，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，图1因为C1C＝A1A＝A1C，所以CD⊥A1C1，因为底面△ABC是边长为2的正三角形，所以AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2，所以B1D⊥A1C1，又B1D∩CD＝D，CD⊂平面B1CD，B1D⊂平面B1CD，所以A1C1⊥平面B1CD，所以A1C1⊥B1C.(2)解：法一如图1，过点D作DE⊥A1C于点E，连接B1E.因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，所以侧面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1，侧面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1C1，所以B1D⊥平面A1CC1，所以B1E⊥A1C，所以∠B1ED为所求二面角的平面角，因为A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，所以B1D＝，又ED＝CC1＝，所以tan∠B1ED＝＝＝，所以二面角B1A1CC1的正弦值为.法二如图，取AC的中点O，以O为坐标原点，射线OB，OC，OA1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(，0，0)，A1(0，0，1)，B1(，1，1)，C(0，1，0)所以A1B1＝(，1，0)，A1C＝(0，1，－1)，设m＝(x，y，z)为平面A1B1C的一个法向量，所以令y＝，得m＝(－1，，)，又OB＝(，0，0)，易证OB⊥平面A1CC1，可以作为平面A1CC1的一个法向量．所以cos〈m，OB〉＝＝－，由图易知所求二面角为锐角，所以二面角B1A1CC1的正弦值为.[题目5](本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2...