第2讲导数的应用(一)一、选择题1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()．A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为2x0，由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案D2．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是()．A．(－2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，2)解析由条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈(－2，＋∞)．答案A3．函数f(x)＝(4－x)ex的单调递减区间是()．A．(－∞，4)B．(－∞，3)C．(4，＋∞)D．(3，＋∞)解析f′(x)＝ex＋(4－x)·ex＝ex(3－x)，令f′(x)<0，由于ex>0，∴3－x<0，解得x>3.答案D4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝处有极值，则ab的值为()A．2B．－2C．3D．－3解析f′(x)＝3ax2＋b，由f′＝3a2＋b＝0，可得ab＝－3.故选D.答案D5．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()．A．f(0)＋f(2)<2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)>2f(1)解析不等式(x－1)f′(x)≥0等价于或可知f(x)在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)＋f(2)≥2f(1)．答案C6．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．下列关于函数f(x)的命题：①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1
0，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，显然当x＝2时f(x)取极小值．答案29．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析 f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，∴由题意知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－在(0，＋∞)上有解． x∈(0，＋∞)，∴－∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．答案(－∞，0)10．已知函数y＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________．解析y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立，∴Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，∴－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b<－1或b>3.答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)三、解答题11．设函数f(x)＝ax3－3x2，(a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的极值点，求函数g(x)＝ex·f(x)的单调区间．解f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点．所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1，经验证，当a＝1时，x＝2是函数f(x)的极值点，所以g(x)＝ex(x3－3x2)，g′(x)＝ex(x3－3x2＋3x2－6x)＝ex(x3－6x)＝x(x＋)(x－)ex.因为ex>0，所以y＝g(x)的单调增区间是(－，0)和(，＋∞)；单调减区间是(－∞，－)和(0，)．12．已知函数f(x)＝x3－ax－1(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由．解(1)f′(x)＝3x2－a由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，因此当f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增时，a的取值范围是(－∞，0]．(2)若f(x)在(－1,1)上单调递减，则对于...
